[论文解读] Continuum Space Limit of the Genealogies of Interacting Fleming-Viot Processes on $\Z$

Andreas Greven, Rongfeng Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文通过构建一个收敛至ℝ上连续位点随机游走模型基因组的测度值基因谱过程，确立了在ℤ上相互作用的Fleming-Viot过程的基因谱在连续空间极限下的形式。利用布朗运动网的图形构造和一种新颖的鞅问题公式化方法，证明了在扩散缩放下列收敛，并识别出作用于非典型个体的奇异生成元，将带标记的度量测度空间理论扩展至局部有限测度。

ABSTRACT

We study the evolution of genealogies of a population of individuals, whose type frequencies result in an interacting Fleming-Viot process on $\Z$. We construct and analyze the genealogical structure of the population in this genealogy-valued Fleming-Viot process as a marked metric measure space, with each individual carrying its spatial location as a mark. We then show that its time evolution converges to that of the genealogy of a continuum-sites stepping stone model on $\R$, if space and time are scaled diffusively. We construct the genealogies of the continuum-sites stepping stone model as functionals of the Brownian web, and furthermore, we show that its evolution solves a martingale problem. The generator for the continuum-sites stepping stone model has a singular feature: at each time, the resampling of genealogies only affects a set of individuals of measure $0$. Along the way, we prove some negative correlation inequalities for coalescing Brownian motions, as well as extend the theory of marked metric measure spaces (developed recently by Depperschmidt, Greven and Pfaffelhuber [DGP12]) from the case of probability measures to measures that are finite on bounded sets.

研究动机与目标

• 将带标记的度量测度空间理论从概率测度扩展至局部有限测度，以支持对无界空间种群中基因谱的研究。
• 通过在带标记的超度量测度空间上建立适定的鞅问题，刻画ℤ上相互作用的Fleming-Viot过程的基因谱演化。
• 将ℝ上连续位点随机游走模型的基因谱构造为布朗运动网的泛函，并证明其动态满足具有奇异生成元的鞅问题。
• 在扩散缩放下证明缩放后的相互作用Fleming-Viot基因谱过程收敛至连续位点随机游走模型的基因谱过程。
• 建立共alescing布朗运动的负相关不等式，并将对偶框架扩展至无限采样测度。

提出的方法

• 作者将带标记的度量测度空间理论扩展至在有界集上有限但总质量可无限的测度，保留基因谱过程的结构。
• 为连续位点随机游走模型的基因谱过程定义了一个鞅问题，其生成元仅在状态空间的正则子集上作用，因奇异性的存在。
• 通过其对偶布朗运动网实现基因谱过程的图形构造，其中共alescing的布朗运动代表空间与时间中的祖先谱系。
• 通过与空间共alescing过程的对偶性，以及无基因谱结构的测度值过程的弱收敛，证明了缩放后相互作用Fleming-Viot基因谱过程的收敛性。
• 关键技术工具包括非相交布朗运动的Karlin-McGregor公式，以及通过泰勒展开提取共alescence事件的极限密度。
• 通过证明其作用涉及位于非典型位置的个体，分析了奇异生成元，其极限核被导出为 $ K^{ m c}_{t}(ar{ riangle}) = \frac{\triangle e^{-\frac{\triangle^{2}}{4t}}}{2\sqrt{\pi}t^{3/2}} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将带标记的度量测度空间理论扩展至处理无限但局部有限的测度，以适用于总人口无限的空间种群模型？
• RQ2 对于ℝ上连续位点随机游走模型的基因谱过程，正确的鞅问题公式化是什么，特别是当生成元在非典型个体上表现出奇异作用时？
• RQ3 ℤ上相互作用的Fleming-Viot过程的基因谱在扩散空间-时间缩放下如何收敛至连续位点随机游走模型的基因谱？
• RQ4 布朗运动网在构造和表征连续极限下空间种群模型的基因谱动态中起什么作用？
• RQ5 共alescing布朗运动存在哪些负相关不等式，它们如何支持极限基因谱过程的收敛性和唯一性？

主要发现

• 在扩散空间-时间缩放下，ℤ上相互作用的Fleming-Viot模型的基因谱过程在分布上收敛至ℝ上连续位点随机游走模型的基因谱过程。
• 极限基因谱过程被构造为布朗运动网的泛函，共alescence事件由空间分布的非典型个体驱动。
• 极限过程的生成元仅在状态空间的正则子集上作用，反映出其因重采样影响零测度集合而产生的奇异性质。
• 精确导出了共alescence核的表达式：$ K^{ m c}_{t}(ar{ riangle}) = \frac{\triangle e^{-\frac{\triangle^{2}}{4t}}}{2\sqrt{\pi}t^{3/2}} $，用于描述相距距离$\triangle$的谱系之间共alescence的发生率。
• 证明了三个共alescing布朗运动的负相关不等式，这对控制有限维分布的收敛性至关重要。
• 带标记的度量测度空间理论被扩展至包含局部有限测度，从而使得在无界地理空间中分析基因谱动态成为可能。