[论文解读] Contractible $3$-manifold and Positive scalar curvature (I)

Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文证明了怀特黑德流形及所有单连通亏格一3-流形均不允许可缩的黎曼度量具有非负数量曲率。利用一种称为性质P的拓扑性质——该性质限制了嵌入曲面与嵌套的实心环面的交集——作者通过极小曲面理论与度量变形导出矛盾，表明此类流形无法支持具有有限面积的稳定极小曲面，从而排除了非负数量曲率的存在性。

ABSTRACT

In this work we prove that the Whitehead manifold has no complete metric of positive scalar curvature. This result can be generalized to the genus one case. Precisely, we show that no contractible genus one $3$-manifold admits a complete metric of positive scalar curvature.

研究动机与目标

• 确定除ℝ³外的单连通3-流形是否能允许可缩的正或非负数量曲率度量。
• 研究在非单连通（亏格一）单连通3-流形上，此类度量存在的拓扑与几何障碍。
• 建立一个拓扑不变量——性质P——以表征这些流形中嵌入曲面与嵌套实心环面的交集方式。
• 利用极小曲面理论与度量变形技术，排除这些流形上存在可缩非负数量曲率度量的可能性。
• 将怀特黑德流形的结果推广至更广泛的单连通亏格一3-流形类。

提出的方法

• 将怀特黑德流形定义为S³中怀特黑德凝聚集的补集，通过无限嵌套的无纽结实心环面序列构造而成。
• 引入性质P：对任意恰当嵌入的平面Σ及γ ⊂ ∂Nₖ ∩ Σ中的闭曲线，要么γ在∂Nₖ中可缩，要么γ所张的圆盘与至少2ᵏ⁻ˡ个Nₗ ∩ Int(Nₖ)的连通分支相交（其中l < k）。
• 利用Kazdan（1982）的度量变形结果，将问题从正数量曲率简化为非负数量曲率。
• 在极小叶层的一个叶Lₜ的邻域中，利用极小曲面的收敛定理构造一系列曲面Σₖʲ。
• 应用Schoen（1983）的曲率估计与光滑收敛定理（定理5.4），从Σₖʲ的子列中提取出极限曲面Σ。
• 通过证明连通曲面不可能同时与Lₜ的中心区域和环形区域相交而不导致断开，从而导出矛盾，违反Σₖʲ的连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 怀特黑德流形——一个单连通但非紧致的3-流形，且与ℝ³不同胚——是否允许可缩黎曼度量具有正数量曲率？
• RQ2 所有单连通亏格一3-流形（通过在嵌套环面构造中改变纽结方式推广怀特黑德流形）是否都允许可缩的非负数量曲率度量？
• RQ3 这些流形的何种拓扑性质阻止了具有有限面积的稳定极小曲面的存在？而这是非负数量曲率的必要条件。
• RQ4 嵌套实心环面结构与嵌入曲面行为之间的相互作用，如何约束流形的几何结构？
• RQ5 能否使用度量变形技术，将正数量曲率结果推广至非紧致3-流形中的非负数量曲率？

主要发现

• 怀特黑德流形不允许可缩黎曼度量具有正数量曲率。
• 所有单连通亏格一3-流形均不允许可缩的非负数量曲率度量，该结论通过从正数量曲率情形的度量变形得以证明。
• 每个单连通亏格一3-流形均满足性质P，即关于嵌入曲面与嵌套实心环面交集的拓扑条件。
• 此类流形中极小叶层的每一片叶必为非紧致，因为紧致叶将导致曲面连通性上的拓扑矛盾。
• 收敛至一片叶的曲面序列的每个连通分支的面积，均被边界球面的面积一致控制，从而实现曲率控制与光滑收敛。
• 矛盾源于连通曲面无法在不导致断开的情况下同时与极限叶的内邻域和外环形区域相交，违反了光滑收敛的论证。