[论文解读] Contractible Extremal Rays on \overline{M}_{0,n}

Seán Keel, James McKernan|ArXiv.org|Jul 7, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 30

一句话总结

本文证明了在模空间 $\overline{M}_{0,n}$ 的曲线锥中，所有可收缩的极小射线均由关键曲线生成——具体而言，即对应于退化配置的稳定 $n$-点有理曲线，在特定条件下成立。研究进一步表明，当 $n \leq 11$ 时，$\widetilde{M}_{0,n}$（即 $\overline{M}_{0,n}$ 关于对称群的商）的曲线锥是有理多面体且由关键曲线生成，从而确认了富勒顿猜想中关于有效周期由关键周期生成的关键情形。

ABSTRACT

We consider the cones of curves and divisors on the moduli space of stable pointed rational curves,M_n, and on the quotient by the symmetric group, Q_n, which is a moduli space of pairs. We find generators for contractible extremal rays of the cone of curves NE_1(M_n), and for the cone of divisors NE^1(Q_n). This second cone turns out to be simplicial. We give complete descriptions of NE_1(M_n) and NE_1(Q_n) for small n (< 8 in the first case, < 11 in the second). We also have results of independent interest on when curves in a divisor generate the cone of curves of the ambient variety.

研究动机与目标

• 探究富勒顿猜想所提出的问题：$\overline{M}_{0,n}$ 的曲线锥中所有极小射线是否均由关键曲线生成。
• 确定 $\widetilde{M}_{0,n}$（即 $\overline{M}_{0,n}$ 关于对称群的商）的曲线锥是否为有理多面体且由关键曲线生成。
• 验证当 $n \leq 11$ 时，$\widetilde{M}_{0,n}$ 的曲线锥的每个面是否均可收缩，尽管反 canonical 类并非有效。
• 建立条件，使得从 $\widetilde{M}_{0,n}$ 拉回的 $\overline{M}_{0,n}$ 上的 nef 除子，可通过基点自由定理与对数 Mori 纤维空间收缩，产生有理多面体锥。

提出的方法

• 利用 Mori-Kawamata-Shokurov 的锥与收缩定理，分析与负 canonical 类相关的极小射线。
• 应用 $\overline{M}_{0,n}$ 作为 $\mathbb{P}^{n-3}$ 的一系列 blow-up 构造，尽管证明并不依赖于该描述。
• 在关键曲线上使用交点理论，计算其与边界除子 $B_i$ 的交点数，使用公式：若 $i = r-1$，则 $C_r \cdot B_i = r$；若 $i = r$，则 $C_r \cdot B_i = -(r-2)$；否则为 0。
• 引入函数 $f(a,b,c,d) = 2 - \#\{a,b,c,d \mid \text{等于 } 1\}$ 以定义条件 $P_n$，该条件控制 $\Delta_E$ 是否为 nef 类的纯边界。
• 应用基点自由定理，证明若 $K_{\overline{M}_{0,n}} + \Delta$ 为 klt 且与某个 nef 类 $E$ 数值等价于正倍数，则由 $E$ 支撑的极小子锥为有理多面体且可收缩。
• 利用 $\overline{M}_{0,n}$ 在 $S_n$ 作用下的对称性，定义 $\widetilde{M}_{0,n}$，并分析关键周期在商映射下的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{0,n})$ 中，所有可收缩的极小射线是否均由关键曲线张成？
• RQ2 $\widetilde{M}_{0,n}$（当 $n \leq 11$ 时）的曲线锥是否具有由关键曲线生成的有理多面体结构？
• RQ3 在何种条件下，从 $\widetilde{M}_{0,n}$ 拉回的 $\overline{M}_{0,n}$ 上的 nef 除子，其对应的极小子锥为有理多面体且可收缩？
• RQ4 条件 $P_n$（边界除子系数的一组不等式系统）是否刻画了 $\Delta_E$ 为纯边界的充要条件？
• RQ5 富勒顿猜想对 $\overline{M}_{0,n}$ 是否成立？即所有有效曲线是否线性等价于关键曲线的和？

主要发现

• 当 $n \leq 7$ 时，$\overline{NE}_1(\overline{M}_{0,n})$ 中所有可收缩的极小射线均由关键曲线张成，从而确认了富勒顿猜想的一个特例。
• 当 $n \leq 11$ 时，$\overline{NE}_1(\widetilde{M}_{0,n})$ 为有理多面体且由关键曲线的像生成，这意味着 $\widetilde{M}_{0,n}$ 不允许非平凡的纤维化。
• 当 $8 \leq n \leq 11$ 时，条件 $P_n$ 成立，这意味着从 $\widetilde{M}_{0,n}$ 拉回的每个非平凡 nef 类对应的 $\Delta_E$ 均为纯边界，从而确保了极小子锥的有理多面体结构。
• 当 $n \leq 11$ 时，$\widetilde{M}_{0,n}$ 是一个非对数 Fano 代数簇，其曲线锥的所有面均可收缩，提供了此类行为的罕见例子。
• 证明表明，若 $K_{\overline{M}_{0,n}} + \Delta$ 为 klt 且与某个正倍数的 big nef 类 $E$ 数值等价，则 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{0,n})$ 中由 $E$ 支撑的极小子锥为有理多面体且可收缩。
• 本文通过验证由 $f(a,b,c,d)$ 和 $r_i$ 系数对称性导出的不等式系统，证明了 $n = 9$ 时 $P_n$ 成立，对 $n = 8, 10, 11$ 亦进行了类似验证。