[论文解读] Contractible Lie groups over local fields

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文研究正特征局部域上的可缩李群，证明此类群在配备 $C^k$-压缩自同构（$k \geq 2$）时为有限指数的扭群且幂零。文章建立群具有 $\alpha$-稳定子群的中心列，并将压缩自同构与李代数上的 $\mathbb{N}$-分次联系起来，将实数与 $p$-进情形下的结果推广至正特征情形。

ABSTRACT

Let G be a Lie group over a local field of positive characteristic which admits a contractive automorphism f (i.e., the forward iterates f^n(x) of each group element x converge to the neutral element 1). We show that then G is a torsion group of finite exponent and nilpotent. We also obtain results concerning the interplay between contractive automorphisms of Lie groups over local fields, contractive automorphisms of their Lie algebras, and positive gradations thereon. Some of the results even extend to Lie groups over arbitrary complete ultrametric fields.

研究动机与目标

• 分类在正特征局部域上存在压缩自同构的李群。
• 确定此类群的结构性质，特别是其幂零性与扭行为。
• 将正分次与压缩自同构理论从实数与 $p$-进李代数推广至正特征域。
• 探讨正特征情形下李群自同构与其诱导的李代数自同构之间的关系。
• 解决关于正特征下解析李压缩群的存在性与分类的开放问题。

提出的方法

• 利用完全不连通局部紧压缩群的结构理论，分析群中 $\alpha$-稳定的完全不连通部分。
• 应用文献[14]中的 $p$-进稳定流形理论，分析在完备 $p$-进域上李群上的 $C^k$-压缩自同构行为。
• 证明李群 $G$ 上压缩自同构 $\alpha$ 的线性化 $L(\alpha)$ 是李代数 $L(G)$ 上的压缩自同构，且所有特征值的绝对值小于 1。
• 证明局部域上的李代数 admits 一个 $\mathbb{N}$-分次当且仅当它 admits 一个压缩自同构，从而建立代数结构与动力系统的联系。
• 通过显式构造某些李群与限制积 $C_p^{(-\mathbb{N})} \times C_p^{\mathbb{N}_0}$ 之间的同构，证明在 $\mathbb{F}_p((X))$ 上，简单压缩群可为 $n$-维。
• 利用李括积为零的非交换扩张，分析正特征下李代数无法确定群结构的现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征局部域上，若李群配备压缩自同构，则在何种条件下其必为幂零群？
• RQ2 能否通过 $\alpha$-稳定子群的中心列完全描述一个存在压缩自同构的李群的结构？
• RQ3 正特征域上李群的压缩自同构在多大程度上决定群结构？其与李代数自同构有何关系？
• RQ4 所有在完备 $p$-进域上正特征的简单李压缩群是否同构于 $C_p^{(-\mathbb{N})} \times C_p^{\mathbb{N}_0}$？
• RQ5 在正特征下，是否总能将一个压缩李代数自同构提升为解析李群上的压缩自同构？

主要发现

• 任何在正特征局部域上配备 $C^1$-压缩自同构的 $C^1$-李群均为有限指数扭群且可解。
• 此类群存在由 $\alpha$-稳定闭子群构成的合成列，每个商群同构于 $C_p^{(-\mathbb{N})} \times C_p^{\mathbb{N}_0}$，并配备右移作用。
• 在完备 $p$-进域上，$C^k$-李群（$k \geq 2$）为幂零群，且存在由 $\alpha$-稳定 $C^k$-李子群构成的中心列。
• 局部域上的李代数 admits 压缩自同构当且仅当它 admits $\mathbb{N}$-分次。
• 存在非交换的 $C^\omega$-李群，其在 $\mathbb{F}_p((X))$ 上的李代数为交换群且具有压缩自同构，表明群结构不能由李代数唯一确定。
• 对任意 $n \in \mathbb{N}$，在 $\mathbb{F}_p((X))$ 上存在 $n$-维简单李压缩群，其同构于 $C_p^{(-\mathbb{N})} \times C_p^{\mathbb{N}_0}$。