[论文解读] Contracting the boundary of a Riemannian 2-disc

Yevgeny Liokumovich, Alexander Nabutovsky+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 11

一句话总结

本文通过面积和直径作为参数，建立了对黎曼2-圆盘边界通过受控长度曲线收缩的近乎最优上界。证明了边界可通过长度至多为 $|\partial D| + 200d\max\{1,\ln(\sqrt{A}/d)\}$ 的闭合曲线收缩，解决了Frankel和Katz长期悬而未决的问题，并为细薄2-球面上测地线长度提供了紧致估计。

ABSTRACT

Let $D$ be a Riemannian 2-disc of area $A$, diameter $d$ and length of the boundary $L$. We prove that it is possible to contract the boundary of $D$ through curves of length $\leq L + 200d\max\{1,\ln {\sqrt{A}\over d} \}$. This answers a twenty-year old question of S. Frankel and M. Katz, a version of which was asked earlier by M.Gromov. We also prove that a Riemannian $2$-sphere $M$ of diameter $d$ and area $A$ can be swept out by loops based at any prescribed point $p\in M$ of length $\leq 200 d\max\{1,\ln{\sqrt{A}\over d} \}$. This estimate is optimal up to a constant factor. In addition, we provide much better (and nearly optimal) estimates for these problems in the case, when $A<

研究动机与目标

• 解决S. Frankel和M. Katz提出的问题，即是否存在基于面积、直径和边界长度的黎曼2-圆盘边界收缩的上界。
• 在不依赖注入半径的前提下，建立2-圆盘边界通过同伦收缩的曲线长度的近乎最优上界。
• 将这些结果推广至黎曼2-球面，提供基于某点的基点对径长度及相关基于该点的环路扫掠的上界。
• 将这些上界应用于估计细薄2-球面上固定一对点之间多条测地线的长度，改进文献中已有的估计。

提出的方法

• 将同伦过剩 $exc(D)$ 定义为满足 $\partial D$ 可通过长度为 $|\partial D| + x$ 的闭合曲线收缩至任意边界点的最小 $x$。
• 通过修改Frankel和Katz的示例，建立 $exc(d,A)$ 的下界，表明其随 $d\ln(\sqrt{A}/d)$ 增长。
• 应用Chambers和Rotman关于扫掠和曲线缩短的最新结果，构造出具有受控曲线长度的显式同伦。
• 通过曲线缩短技术、拓扑扫掠以及环路空间中同调类宽度的估计相结合，推导出上界。
• 利用主要的收缩上界，估计在2-球面上固定两点之间存在 $k$ 条不同测地线的长度，结合几何分析中的已知结果。
• 在直径和面积的参数下，建立2-球面基点对径长度 $Bdias(M)$ 的近乎最优上界，且当 $\sqrt{A}/d \to \infty$ 时渐近最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼2-圆盘的边界能否通过以面积、直径和边界长度为参数有界的曲线长度的闭合曲线收缩？
• RQ2 同伦过剩 $exc(d,A)$ 的下界 $\Omega(d\ln(\sqrt{A}/d))$ 是否在常数因子意义下最优？
• RQ3 在给定面积和直径的条件下，2-圆盘边界通过同伦收缩的曲线长度的最佳可能上界是什么？
• RQ4 这些上界如何转化为对2-球面上固定一对点之间多条测地线长度的估计？
• RQ5 2-球面的基点对径长度 $Bdias(M)$ 能否以直径和面积为参数进行界定，且该界是否是紧致的？

主要发现

• 同伦过剩 $exc(d,A)$ 满足 $exc(d,A) \leq 200d\max\{1,\ln(\sqrt{A}/d)\}$，其在常数因子意义下为最优。
• 当 $\sqrt{A}/d \to \infty$ 时，建立了 $exc(d,A) \geq 0.788d\ln(\sqrt{A}/d)$ 的近乎最优下界，确认了渐近增长速率。
• 对任意黎曼2-圆盘，存在一个同伦，使得边界可通过长度至多为 $|\partial D| + 159d + 40d\max\{0,\ln(\sqrt{A}/d)\}$ 的闭合曲线收缩。
• 在直径为 $d$、面积为 $A$ 的黎曼2-球面上，基点对径长度满足 $Bdias(M) \leq 159d + 40d\max\{0,\ln(\sqrt{A}/d)\}$，且当 $\sqrt{A}/d \to \infty$ 时渐近最优。
• 对任意2-球面上的点对 $x,y$，存在 $k$ 条不同测地线，其长度 $\leq 4(k-1)d + 1328(k-1)\sqrt{A} + \text{dist}(x,y)$，在细薄区域中优于已有估计。
• 在任意点处基于的最短非平凡测地线闭合曲线的长度至多为 $2d + 664\sqrt{A}$，当 $\sqrt{A}/d \to 0$ 时近乎最优。