[论文解读] Contraction and incremental stability of switched Carathéodory systems using multiple norms

Wenlian Lu, Mario di Bernardo|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2015

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，用于分析切换Carathéodory系统中增量指数渐近稳定性（δ-EAS）的问题，该框架采用由不同向量范数诱导的多个矩阵测度。通过利用范数之间的转换系数，并推导出允许不稳定模式与整体系统稳定性共存的充分条件，该方法即使在单个模式非收缩的情况下也能实现收缩与同步，通过切换线性系统和网络同步示例得到验证，并给出了定量的收敛界。

ABSTRACT

In this paper, incremental exponential asymptotic stability of a class of switched Carathéodory nonlinear systems is studied based on the novel concept of measure of switched matrices via multiple norms and the transaction coefficients between these norms. This model is rather general and includes the case of staircase switching signals as a special case. Sufficient conditions are derived for incremental stability allowing for the system to be incrementally exponentially asymptotically stable even if some of its modes are unstable in some time periods. Numerical examples on switched linear systems switching periodically and on the synchronization of switched networks of nonlinear systems are used to illustrate the theoretical results.

研究动机与目标

• 将收缩理论扩展至使用多个范数而非单一公共度量的切换Carathéodory系统。
• 解决先前方法依赖单一矩阵测度作用于所有系统模式的局限性。
• 推导当某些系统模式在时间区间内不稳定时，δ-EAS的充分条件。
• 通过与范数相关的矩阵测度，实现每种模式使用不同的李雅普诺夫函数。
• 在切换网络的同步与周期性切换系统中，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 引入一种基于多范数的新矩阵测度概念，其中每个系统模式与一个独立的向量范数相关联。
• 定义范数之间的转换系数，以量化不同矩阵测度之间的关系。
• 基于时间平均矩阵测度以及切换持续时间与切换次数项，推导出δ-EAS的充分条件。
• 利用变分方程与李雅普诺夫型分析，证明同步流形的渐近稳定性。
• 将该框架应用于切换线性系统以及具有周期性切换信号的Chua电路网络。
• 采用加权1-范数与欧几里得范数，构建混合范数李雅普诺夫函数，并计算收敛速率的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当某些模式在特定时间区间内不稳定时，是否仍能保证切换Carathéodory系统中增量稳定性？
• RQ2 如何将由不同范数诱导的多个矩阵测度组合起来，以评估系统的整体收缩性？
• RQ3 在每个模式使用多个范数时，需满足何种条件才能确保切换系统保持增量指数渐近稳定？
• RQ4 切换频率与持续时间如何影响在多范数分析下整体系统的稳定性？
• RQ5 该框架是否可应用于实现具有切换拓扑的非线性系统网络的同步？

主要发现

• 即使某些模式是非收缩的，只要时间平均矩阵测度条件（27）成立，系统仍可实现δ-EAS。
• 在Chua电路网络示例中，当切换周期T > 13.08时可保证同步，仿真中采用T = 14。
• 该方法允许每种模式使用不同的范数，从而相比单范数方法，实现更灵活且更不保守的稳定性分析。
• 数值结果证实，在所提条件下，10个节点的网络中所有节点均实现同步，误差随时间减小，如图4所示。
• 推导出的条件（27）通过验证变分方程范数的衰减，确保了同步流形的渐近稳定性。