[论文解读] Contraction par Frobenius et modules de Steinberg

M. Gros, Masaharu Kaneda|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用 3

一句话总结

该论文证明了在正特征下，对半单代数群模的弗罗贝尼乌斯收缩函子是与弗罗贝尼乌斯扭的斯坦贝格模的双重张量积的右伴随。它证明了该函子保持单射性与良好滤子结构，但不保持半单性，将结果推广至 $G_r$-模，并通过分布代数上的分裂弗罗贝尼乌斯结构，为弗罗贝尼乌斯相关模构造提供了范畴论框架。

ABSTRACT

For a reductive group G defined over an algebraically closed field of positive characteristic, we show that the Frobenius contraction functor of G-modules is right adjoint to the Frobenius twist of the modules tensored with the Steinberg module twice. It follows that the Frobenius contraction functor preserves injectivity, good filtrations, but not semisiplicity.

研究动机与目标

• 通过与斯坦贝格模的双重张量积的伴随关系，刻画 $G$-模上的弗罗贝尼乌斯收缩函子。
• 建立弗罗贝尼乌斯收缩函子保持单模与具有良好滤子的模的性质。
• 证明该函子一般不保持半单性。
• 将结果推广至 $G_r$-模，其中 $G_r$ 是 $G$ 的第 $r$ 个弗罗贝尼乌斯核，以及 $G_rB$-模。
• 通过分布代数 $\mathrm{Dist}(G)$ 上的分裂弗罗贝尼乌斯结构，提供弗罗贝尼乌斯收缩的范畴与结构性理解。

提出的方法

• 作者通过 $\mathrm{Dist}(T_1)$ 中唯一的幂等元 $\mu_0$ 构造 $\mathrm{Dist}(G)$ 上的分裂弗罗贝尼乌斯态射，从而在 $G$-模上定义弗罗贝尼乌斯收缩函子 $M \mapsto M^\phi$。
• 通过代数同态 $\phi: \mathrm{Dist}(G) \to \mu_0\mathrm{Dist}(G)\mu_0$ 拉回 $M$ 上的 $G$-作用来定义该收缩函子，该同态满足 $\mathrm{Dist}(F) \circ \phi = \mathrm{id}$。
• 关键的伴随关系建立在弗罗贝尼乌斯收缩函子与函子 $M \mapsto \mathrm{St}^{[1]} \otimes \mathrm{St}^{[1]} \otimes M^{[1]}$ 之间，其中 $\mathrm{St}$ 为斯坦贝格模，$[1]$ 表示弗罗贝尼乌斯扭。
• 通过 $\mathrm{Ext}$ 的消去性与 $\mathrm{St}_s \otimes \mathrm{St}_s \otimes \hat{\Delta}_{r-s}(\lambda)^{[s]}$ 具有 $\hat{\Delta}_r$-滤子结构的事实，证明了良好滤子的保持性。
• 通过利用 $G_rT$-模结构与 $\tilde{\nabla}_r(\lambda)^{\phi^s}$ 具有 $\tilde{\nabla}_{r-s}$-滤子结构的事实，将结果推广至 $G_r$-模。
• 证明依赖于简森（Jantzen）代数群表示论中的标准结果，包括张量恒等式与诱导函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $G$-模上，弗罗贝尼乌斯收缩函子是否是弗罗贝尼乌斯扭斯坦贝格模的双重张量积的右伴随？
• RQ2 弗罗贝尼乌斯收缩函子是否保持单模与具有良好滤子的模？
• RQ3 弗罗贝尼乌斯收缩函子是否一般保持半单性？
• RQ4 $G$-模上的结果能否推广至 $G_r$-模与 $G_rB$-模？
• RQ5 在 $\mathrm{Dist}(G)$ 上的分裂弗罗贝尼乌斯在定义与刻画收缩函子中起什么作用？

主要发现

• 弗罗贝尼乌斯收缩函子 $M \mapsto M^\phi$ 是函子 $M \mapsto \mathrm{St}^{[1]} \otimes \mathrm{St}^{[1]} \otimes M^{[1]}$ 的右伴随，建立了基本的范畴对偶性。
• 该函子保持单模，通过伴随关系与右伴随保持单射性的事实得以证明。
• 该函子保持良好滤子的存在性，通过 $\mathrm{Ext}^1$ 群的消去性与相关张量积的 $\hat{\Delta}_r$-滤子结构得以证明。
• 该函子一般不保持半单性，论文中通过反例予以说明。
• 对于 $G_r$-模，当 $M$ 具有 $\nabla_r$-滤子结构时，收缩函子 $M^{\phi^s}$ 保持 $\nabla_{r-s}$-滤子结构。
• 对于 $G_rB$-模，当 $M$ 具有 $\tilde{\nabla}_r$-滤子结构时，收缩函子 $M^{\phi^s}$ 保持 $\tilde{\nabla}_{r-s}$-滤子结构。