[论文解读] Contraction property for large perturbations of shocks of the barotropic Navier-Stokes system

Moon-Jin Kang, Alexis Vasseur|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 31被引用 3

一句话总结

该论文在大扰动下，通过基于相对熵方法构造的新型伪范数，建立了巴otropic Navier-Stokes 方程中粘性激波剖面的压缩性质。关键结果是，激波稳定性不依赖于粘性强度，将 a-压缩理论扩展至具有退化粘性的可压缩粘性情形（$α = γ$）。

ABSTRACT

This paper is dedicated to the construction of a pseudo-norm, for which small shock profiles of the barotropic Navier-Stokes equation have a contraction property. This contraction property holds in the class of any large 1D weak solutions to the barotropic Navier-Stokes equation. It implies a stability condition which is independent of the strength of the viscosity. The proof is based on the relative entropy method, and is reminiscent to the notion of a-contraction first introduced by the authors in the hyperbolic case.

研究动机与目标

• 在任意大扰动下，建立巴otropic Navier-Stokes 系统中粘性激波剖面的压缩性质。
• 构造一种伪范数，确保解向平移后的激波剖面的压缩性，且不受初始扰动大小影响。
• 将先前用于双曲守恒律的 a-压缩框架扩展至具有退化粘性的可压缩 Navier-Stokes 系统。
• 在不施加扰动大小假设或积分零条件的前提下，证明激波的稳定性。
• 构造一个权函数，并利用相对熵推导出大偏差下的非线性 Poincaré 型不等式。

提出的方法

• 基于解与平移后激波剖面之间的相对熵，构造一种适用于 $α = γ$ 情形的巴otropic Navier-Stokes 系统的伪范数。
• 应用相对熵方法，推导解与粘性激波剖面之间差异的演化估计。
• 引入一个适应系统非齐次结构的权函数，以实现对大扰动的控制。
• 利用非线性 Poincaré 型不等式，基于压强律 $p(v) = v^{-\gamma}$ 的结构，将相对熵以空间导数形式有界。
• 对 $|p(v) - p(\tilde{v}_\varepsilon)|$ 的大值进行截断，以控制熵耗散中的非线性。
• 通过在激波尺度上的展开分析系统的渐近行为，并利用泛函不等式证明全局压缩性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在任意大扰动下，为巴otropic Navier-Stokes 系统中的粘性激波建立压缩性质？
• RQ2 是否可以构造一种伪范数，使其确保压缩性与粘性强度无关？
• RQ3 相对熵方法如何适应在退化粘性 ($μ(v) = b v^{-\gamma}$) 存在时的大偏差情形？
• RQ4 a-压缩框架能否扩展至具有非恒定粘性的粘性可压缩系统？
• RQ5 在大扰动情形下，控制相对熵演化所需的泛函不等式是什么？

主要发现

• 在 $α = γ$ 情形下，为巴otropic Navier-Stokes 系统中的粘性激波剖面建立了压缩性质，且对任意大扰动均成立。
• 通过一种特别构造的伪范数证明了压缩性，该伪范数依赖于相对熵与适应激波结构的权函数。
• 稳定性结果不依赖于粘性强度，从而消除了对扰动大小假设或积分零条件的需求。
• 证明依赖于由压强律结构与粘性系数导出的非线性 Poincaré 型不等式。
• 作者构造了一个平移 $X(t)$，使得解在伪范数下始终接近平移后的激波剖面，从而保证长期稳定性。
• 通过反证法证明关键辅助函数 $g(x)$ 的最大值仅出现在端点，从而证明其非正性，使压缩估计成为可能。