[论文解读] Contractivity, complete contractivity and curvature inequalities

Misra, Gadadhar, Pal, Avijit|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文研究了有界域 $\Omega \subset \mathbb{C}^m$ 上 Cowen-Douglas 类 $\mathrm{B}_1(\Omega)$ 中由局部化算子诱导的同态的收缩性与完全收缩性。研究结果表明，这些性质等价于相关全纯向量丛的曲率不等式，且通过对称域上的 Bergman 核给出了显式例子。主要贡献在于通过曲率矩阵与矩阵值多项式，精确刻画了收缩性与完全收缩性对 $\lambda$ 的依赖关系。

ABSTRACT

For any bounded domain $Ω$ in $\mathbb C^m,$ let ${\mathrm B}_1(Ω)$ denote the Cowen-Douglas class of commuting $m$-tuples of bounded linear operators. For an $m$-tuple $\boldsymbol T$ in the Cowen-Douglas class ${\mathrm B}_1(Ω),$ let $N_{\boldsymbol T}(w)$ denote the restriction of $\boldsymbol T$ to the subspace ${\cap_{i,j=1}^m\ker(T_i-w_iI)(T_j-w_jI)}.$ This commuting $m$-tuple $N_{\boldsymbol T}(w)$ of $m+1$ dimensional operators induces a homomorphism $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}$ of the polynomial ring $P[z_1, ..., z_m],$ namely, $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}(p) = p\big (N_{\boldsymbol T}(w) \big),\, p\in P[z_1, ..., z_m].$ We study the contractivity and complete contractivity of the homomorphism $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}.$ Starting from the homomorphism $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}},$ we construct a natural class of homomorphism $ρ_{_{\!N^{(λ)}(w)}}, λ>0,$ and relate the properties of $ρ_{_{\!N^{(λ)}(w)}}$ to that of $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}.$ Explicit examples arising from the multiplication operators on the Bergman space of $Ω$ are investigated in detail. Finally, it is shown that contractive properties of $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}$ is equivalent to an inequality for the curvature of the Cowen-Douglas bundle $E_{\boldsymbol T}$.

研究动机与目标

• 刻画 Cowen-Douglas 类 $\mathrm{B}_1(\Omega)$ 中与局部化算子 $N_{\boldsymbol{T}}(w)$ 相关的同态的收缩性与完全收缩性。
• 将这些算子理论性质与全纯向量丛 $E_{\boldsymbol{T}}$ 的曲率不等式联系起来。
• 构造并分析一族由 Bergman 核幂诱导的、参数为 $\lambda > 0$ 的同态 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$。
• 通过显式曲率计算，确定 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 为收缩或完全收缩的精确阈值。

提出的方法

• 将局部化算子 $N_{\boldsymbol{T}}(w)$ 定义为 $\boldsymbol{T}$ 在联合核子空间 $\mathcal{N}(w) = \bigcap_{i,j=1}^m \ker(T_i - w_i I)(T_j - w_j I)$ 上的限制。
• 从 Bergman 核的 $\lambda$ 次幂构造同态 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$，在多项式环 $P[z_1, \dots, z_m]$ 上诱导一个表示。
• 将曲率矩阵 $\mathcal{K}_{\boldsymbol{T}}(w)$ 表示为 $\log \|\gamma(w)\|^2$ 的负 Hessian 矩阵，其中 $\gamma(w)$ 是丛的全纯截面。
• 通过 $\{\gamma(w), \partial_1\gamma(w), \dots, \partial_m\gamma(w)\}$ 的 Gram-Schmidt 正交化，将 $N_{\boldsymbol{T}}(w)$ 表示为上三角形式，其元素为 $\boldsymbol{\alpha}_i(w)$。
• 将矩阵 $\big(\langle \boldsymbol{\alpha}_i(w), \boldsymbol{\alpha}_j(w) \rangle \big)_{i,j}$ 与逆曲率矩阵 $-\mathcal{K}_{\boldsymbol{T}}(w)^{-1}$ 关联起来。
• 应用 von Neumann 不等式与算子范数条件，推导出收缩性与完全收缩性的必要充分条件，以 $\lambda$ 表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 $\lambda > 0$ 的条件可确保同态 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 为收缩？
• RQ2 在何种条件下 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 是完全收缩的？其与 Cowen-Douglas 丛曲率的关系为何？
• RQ3 曲率矩阵 $\mathcal{K}_{\boldsymbol{T}}(w)$ 与局部化算子的内积结构如何共同决定收缩性？
• RQ4 能否仅通过 Bergman 核的 $\lambda$ 次幂完全刻画 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 的收缩性？
• RQ5 同态 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 的收缩性与在 $w$ 处取值的矩阵值多项式算子范数之间有何关系？

主要发现

• 同态 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(0)}$ 为收缩的充要条件是 $\lambda \geq \frac{1}{4}$，该结果由原点处曲率矩阵元素的范数不等式导出。
• 同态 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(0)}$ 为完全收缩的充要条件是 $\lambda \geq \frac{11}{20}$，依据是矩阵值多项式 $P_{\mathbf{A}}(z) = z_1 A_1 + z_2 A_2$ 的算子范数，其中 $A_1 = I_2$，$A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
• 对于域 $\Omega = \{(z_1,z_2,z_3) : |z_2|^2 \leq (1-|z_1|^2)(1-|z_3|^2), 1-|z_3|^2 \geq 0\}$，在原点处的曲率矩阵对角线元素为 $T_{11}(0) = 3\lambda$，$T_{22}(0) = \frac{9\lambda}{2}$，$T_{33}(0) = 3\lambda$，非对角线元素为零。
• 收缩性条件 $\|A(0)^t\|_{\ell^2 \to C_{\Omega,0}}^2 \leq 1$ 导出不等式 $|a_{11}^\lambda(0)|^2(1 - |a_{33}^\lambda(0)|^2) \geq |a_{22}^\lambda(0)|^2 - |a_{33}^\lambda(0)|^2$，该不等式推出 $\lambda \geq \frac{1}{4}$。
• 对于三变量多项式 $P_{\mathbf{A}}(z) = z_1 A_1 + z_2 A_2 + z_3 A_3$，其中 $A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，同态 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(0)}$ 为完全收缩的充要条件是 $\lambda \geq \frac{5}{9}$。