[论文解读] Contragredients of irreducible representations in theta correspondences

Binyong Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2009

Advanced Algebra and Geometry被引用 2

一句话总结

本论文证明，对于非阿基米德局部域（特征为零）上的经典群（如 GL(n)、U(n)、O(n) 或 Sp(2n)）的不可约、可约、光滑表示 π，其对偶表示与 π 通过群自同构的扭张同构。主要贡献将此已知结果推广至局部 theta 对应中自然出现的此类群的二重覆盖，证明在此设定下，类似的对偶表示-扭张同构关系依然成立。

ABSTRACT

Abstract. Let G be a classical group GL(n), U(n), O(n) or Sp(2n), over a nonarchimedean local field of characteristic zero. Let π be an irreducible admissible smooth representation of G. It is well known that the contragredient of π is isomorphic to a twist of π by an automorphism of G. We prove a similar result for double covers of G which occur in the study of local theta correspondences. 1. The results Fix a non-archimedean local field k of characteristic zero. Let A be a k-algebra and τ be a k-algebra involution of A so that ⎨ (k × k, the nontrivial automophism), (A, τ) = (a quadratic field extension of k, the nontrivial automophism), or (k, the trivial automophism). Let ǫ = ±1 and let E be an ǫ-hermitian A-module, namely it is a free A-module of finite rank, equipped with a non-degenerate k-bilinear map satisfying 〈 , 〉E: E × E → A 〈u, v〉E = ǫ〈v, u 〉 τ E, 〈au, v〉E = a〈u, v〉E, a ∈ A, u, v ∈ E. Denote by U(E) the group of all A-module automorphisms of E which preserve the form 〈 , 〉E. Depending on A and ǫ, it is a general linear group, unitary group, orthogonal group or symplectic group. Following [MVW87, Proposition 4.I.2], we extend U(E) to a larger group, which is denoted by Ŭ(E), and consisting of pairs (g, δ) ∈ GLk(E) × {±1} such that either δ = 1 and g ∈ U(E),

研究动机与目标

• 将已知的不可约表示对偶表示与群自同构扭张同构的关系推广至经典群的二重覆盖。
• 研究在局部 theta 对应中自然出现的二重覆盖背景下，对偶表示的行为。
• 建立与线性群经典情形类似的、关于典型群（二重覆盖）表示的结构性质。
• 为在 theta 对应框架下研究对偶性及其保持性质提供基础工具。

提出的方法

• 固定一个特征为零的非阿基米德局部域 k，并考虑带有 k-代数自同构 τ 的 k-代数 A，涵盖的情形包括 k、k 的二次扩张，或 k × k。
• 定义有限秩的 ǫ-酉 A-模 E，其上配备非退化的 A-值形式，满足 〈u,v〉 = ǫ〈v,u〉τ 且 A-线性。
• 将酉群 U(E) 定义为保持 ǫ-酉形式的 A-线性自同构群。
• 将 U(E) 扩展为更大的群 Ŭ(E)，由对 (g, δ) ∈ GLk(E) × {±1} 构成，其中 δ = 1 且 g ∈ U(E)，或 δ = −1 且 g 满足与形式的扭曲相容性。
• 利用 Ŭ(E) 的结构分析经典群二重覆盖的表示。
• 应用 [MVW87] 的结果，将线性群的对偶性质提升至其典型覆盖。

实验结果

研究问题

• RQ1 在经典群的二重覆盖上，不可约、可约、光滑表示 π 的对偶表示是否仍与 π 通过群自同构的扭张同构，如同在线性情形一样？
• RQ2 在 theta 对应背景下，ǫ-酉模及其酉群的结构如何推广至二重覆盖情形？
• RQ3 扩展群 Ŭ(E) 在实现典型群上表示对偶性方面起什么作用？
• RQ4 当从线性群过渡到二重覆盖群时，对偶性是否在 theta 对应中保持，即对偶表示的性质是否被保留？
• RQ5 群的自同构如何作用于表示，以在典型设定中实现对偶表示同构？

主要发现

• 在经典群的二重覆盖上，不可约、可约、光滑表示 π 的对偶表示与 π 通过群自同构的扭张同构。
• 尽管二重覆盖非平凡，对偶表示的同构类型仍通过与线性情形相同的机制保持。
• 扩展群 Ŭ(E) 为分析典型群上的表示及其对偶性质提供了自然框架。
• 结果将线性群的经典对偶性结果推广至 theta 对应中出现的二重覆盖情形。
• 证明依赖于 ǫ-酉模的结构以及形式与自同构群的相容性，扩展了 [MVW87] 中的已知结果。
• 该框架确保对偶表示同构与 theta 对应相容，在典型设定中保持对偶性。