[论文解读] Contraherent cosheaves on schemes

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 13

一句话总结

本文引入了反协纯余层（contraherent cosheaves）作为概形上余挠模的全局化推广，在具有对偶复形的拟紧半分离诺特概形上，建立了拟相干层与反协纯余层之间的导出共-对偶对应。关键贡献在于，通过这一对偶框架，显式构造了 Neeman 的非凡反像函子 $f^!$ 和 Deligne 的 $f^+$。

ABSTRACT

Contraherent cosheaves are globalizations of contraadjusted or cotorsion modules over commutative rings obtained by gluing together over a scheme, with the colocalization functors $\operatorname{Hom}_R(S,{-})$ used for the gluing (where $S$ is the ring of functions on an affine open subscheme in $\operatorname{Spec}R$). The category of contraherent cosheaves over a scheme is a Quillen exact category with exact functors of infinite product. Over a quasi-compact semi-separated scheme or a Noetherian scheme of finite Krull dimension (in a different version - over any locally Noetherian scheme), it also has enough projectives. We construct the derived co-contra correspondence over a scheme in two forms. The "naive" one is an equivalence of the conventional derived categories of quasi-coherent sheaves and contraherent cosheaves, valid over any quasi-compact semi-separated scheme. The more sophisticated version is an equivalence between the coderived category of quasi-coherent sheaves and the contraderived category of contraherent cosheaves over a Noetherian scheme with a dualizing complex. The former point of view allows us to obtain an explicit construction of the Lipman-Neeman extraordinary inverse image functor $f^!$ for a morphism of quasi-compact semi-separated schemes $f\colon Y o X$. The latter approach provides an expanded version of the covariant Serre-Grothendieck duality theory and leads to the Hartshorne-Deligne extraordinary inverse image functor $f^!$ (which we denote by $f^+$) for a morphism of finite type $f$ between Noetherian schemes. We also construct a derived semico-semicontra correspondence, mounting the "naive" version along the fibers on top of the one depending on a dualizing complex on the base of a flat fibration. Noncommutative analogues of Noetherian stacks, affine Noetherian formal schemes, and ind-affine ind-schemes are briefly discussed in the appendices.

研究动机与目标

• 通过反协纯余层将交换环上的余挠模推广为概形上的层论对象。
• 在拟紧半分离概形上，建立拟相干层与反协纯余层之间的导出共-对偶对应。
• 利用共-对偶对应，为 Neeman 的非凡反像函子 $f^!$ 提供一种新构造。
• 通过诺特概形上的反协纯余层，将 Serre–Grothendieck 对偶性推广至更广泛的框架。
• 将该理论推广至半分离诺特叠、仿射形式概形及 ind-仿射 ind-概形。

提出的方法

• 利用环与余环上的反模理论，将反协纯余层定义为余挠模的层论推广。
• 在反协纯余层上构造一个具有无限积的正合函子的正合范畴结构。
• 通过具有适当同调维数的复形的导出范畴应用共-对偶对应。
• 在导出范畴中使用同伦投影与内射化解析来定义直接像与反像函子的导出函子。
• 利用平坦余环与对偶复形的结构，在诺特情形下建立等价关系。
• 运用无限同调代数的结果，包括化解与 Ext 的消失性，证明余挠性与平坦性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过余层结构将交换环上的余挠模全局化为概形上的层？
• RQ2 何种条件下，概形上的反协纯余层范畴具有足够的投射对象？
• RQ3 导出共-对偶对应能否在拟紧半分离概形上建立？其对非凡反像函子有何产出？
• RQ4 共-对偶对应如何将 Serre–Grothendieck 对偶性推广至具有对偶复形的概形？
• RQ5 在诺特概形背景下，反协纯余层与非凡反像函子 $f^!$ 和 $f^+$ 之间存在何种关系？

主要发现

• 在拟紧半分离概形上，反协纯余层范畴是一个 Quillen 正合范畴，且具有无限积的正合函子。
• 在拟紧半分离概形上，导出共-对偶对应在拟相干层与反协纯余层的导出范畴之间建立了等价关系。
• 共-对偶对应使得 Neeman 的非凡反像函子 $f^!$ 对于拟紧半分离概形之间的态射得以显式构造。
• 对于具有对偶复形的诺特概形，共-对偶对应导出了协变 Serre–Grothendieck 对偶性的扩展版本，并实现了 Deligne 的 $f^+$ 函子。
• 在 Krull 维数有界的诺特环 ${rak R}$ 上，任何平坦 ${rak R}$-反模的投射维数至多为 $D$，且任何 ${rak R}$-反模的余挠维数也由 $D$ 有界。
• 任何 ${rak R}$-反模均可嵌入于一个平坦 ${rak R}$-反模中，使得商模为余挠模；同时，任何 ${rak R}$-反模均可通过一个具有余挠核的平坦 ${rak R}$-反模进行满射覆盖，从而实现强同调控制。