[论文解读] Contrast estimation of general locally stationary processes using coupling

Jean‐Marc Bardet, Paul Doukhan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于核的估计方法，用于一般局部平稳过程中的时变参数，包括 GARCH 和 LARCH(∞) 等无限记忆模型，通过耦合论证建立了统一一致性和渐近正态性。该方法在 Dahlhaus 等人先前工作的基础上，将适用范围扩展至非马氏、长记忆过程，并在对比函数的最小正则性条件下实现理论推广。

ABSTRACT

This paper aims at providing statistical guarantees for a kernel based estimation of time varying parameters driving the dynamic of local stationary processes. We extend the results of Dahlhaus et al. (2018) considering the local stationary version of the infinite memory processes of Doukhan and Wintenberger (2008). The estimators are computed as localized M-estimators of any contrast satisfying appropriate contraction conditions. We prove the uniform consistency and pointwise asymptotic normality of such kernel based estimators. We apply our result to usual contrasts such as least-square, least absolute value, or quasi-maximum likelihood contrasts. Various local-stationary processes as ARMA, AR(infty), GARCH, ARCH(infty), ARMA-GARCH, LARCH(\infty),..., and integer valued processes are also considered. Numerical experiments demonstrate the efficiency of the estimators on both simulated and real data sets.

研究动机与目标

• 将局部平稳性的理论框架从马氏和线性模型扩展至一般无限记忆过程。
• 为非线性、非马氏时间序列中时变参数的核 M-估计器提供统计保证——统一一致性和渐近正态性。
• 处理以往局部平稳性理论尚不涵盖的模型，如 GARCH(∞)、AR(∞) 和 LARCH(∞)。
• 开发一种适用于广泛对比函数类的一般估计程序，包括最小二乘、最小绝对偏差和准最大似然。
• 在依赖结构的严格且可验证条件下，建立所提估计器的极小极大率最优性。

提出的方法

• 作者将时变局部平稳过程定义为过去创新和时变参数的递归函数，其中参数路径通过光滑函数 θ*(u)（u ∈ (0,1)）进行近似。
• 通过在时间点 u 附近使用核加权构造局部对比函数 Φ，估计量被定义为在参数空间 Θ 上最小化该局部对比函数的解。
• 采用 Dedecker 和 Prieur 的耦合技术控制无限记忆过程中的依赖性，替代了先前工作中使用的基于导数的方法。
• 该方法依赖于函数依赖度量和矩条件，推导出在不同耦合方案下对比函数梯度差值的界。
• 通过 Fθ 及其导数的利普希茨条件建立理论保证，确保在路径历史扰动下具有稳定性。
• 在保证渐近协方差矩阵和费雪信息矩阵正定的条件下，建立了渐近正态性和统一一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部平稳性框架能否扩展至非马氏、无限记忆过程（如 GARCH(∞) 和 LARCH(∞)）？
• RQ2 在非马氏设定下，时变参数的核 M-估计是否仍保持一致性和渐近正态性？
• RQ3 对对比函数和依赖结构的何种最小正则性条件可确保估计器的极小极大率最优性？
• RQ4 如何利用耦合论证替代文献中用于无限记忆过程渐近性质证明的基于导数的方法？
• RQ5 同一理论框架能否统一处理有限记忆模型（如 ARMA(p,q)）和无限记忆模型（如 ARCH(∞)）？

主要发现

• 在对比函数和依赖结构的温和且可验证的正则性条件下，核 M-估计器实现了统一一致性与逐点渐近正态性。
• 估计器达到极小极大率最优，意味着在所考虑的模型类别中实现了时变参数估计的最佳可能收敛速率。
• 该方法适用于广泛的对比函数类，包括最小二乘、最小绝对偏差和准最大似然，从而可在多种时间序列模型中实现估计。
• 理论保证同时适用于有限记忆模型（如 ARMA(p,q)、GARCH(p,q)）和无限记忆模型（如 AR(∞)、ARCH(∞)、LARCH(∞)），扩展了先前结果。
• 基于耦合的方法成功处理了长程依赖和非马氏结构，克服了文献中基于导数方法的局限性。
• 数值实验在模拟和真实数据上均证实了估计器的高效性，展示了其实际可行性与鲁棒性。