[论文解读] Control Barrier Functions for Systems with High Relative Degree

Wei Xiao, Călin Belta|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 19被引用 12

一句话总结

本文提出高阶控制屏障函数（HOCBFs）用于高相对阶系统，通过使用类 $\kappa$ 函数而非指数形式，对先前方法进行推广。该方法通过类似李雅普诺夫的条件，确保多个集合交集的前向不变性，结合类 $\kappa$ 函数的选择，实现实时基于二次规划（QP）的控制，实现控制可行性与性能的可定制化，并在自适应巡航控制问题中得到验证。

ABSTRACT

This paper extends control barrier functions (CBFs) to high order control barrier functions (HOCBFs) that can be used for high relative degree constraints. The proposed HOCBFs are more general than recently proposed (exponential) HOCBFs. We introduce high order barrier functions (HOBF), and show that their satisfaction of Lyapunov-like conditions implies the forward invariance of the intersection of a series of sets. We then introduce HOCBF, and show that any control input that satisfies the HOCBF constraints renders the intersection of a series of sets forward invariant. We formulate optimal control problems with constraints given by HOCBF and control Lyapunov functions (CLF) and analyze the influence of the choice of the class $\mathcal{K}$ functions used in the definition of the HOCBF on the size of the feasible control region. We also provide a promising method to address the conflict between HOCBF constraints and control limitations by penalizing the class $\mathcal{K}$ functions. We illustrate the proposed method on an adaptive cruise control problem.

研究动机与目标

• 解决现有控制屏障函数（CBFs）仅适用于相对阶为一的系统这一局限性。
• 将屏障函数理论扩展至处理高相对阶约束，这类约束在复杂动力系统中普遍存在。
• 提出一种更灵活的高阶控制屏障函数（HOCBFs）通用框架，优于现有基于指数形式的HOCBFs。
• 通过在二次规划（QP）中集成HOCBFs与控制李雅普诺夫函数（CLFs），实现实时控制综合。
• 提出一种通过惩罚类 $\kappa$ 函数解决HOCBF约束与控制输入限制（如制动限制）之间冲突的方法。

提出的方法

• 将高阶屏障函数（HOBFs）定义为屏障函数的推广形式，其满足类似李雅普诺夫的条件，可确保多个集合交集的前向不变性。
• 引入HOCBFs作为控制设计工具，保证由多个约束交集定义的集合的前向不变性。
• 在二次规划（QP）中将HOCBFs与CLFs作为约束，构建最优控制问题，实现实时反馈控制。
• 使用类 $\kappa$ 函数对HOCBFs进行参数化，从而灵活调节屏障函数的行为，并影响可行控制区域的形状。
• 在类 $\kappa$ 函数上施加惩罚项，以解决HOCBF约束与控制输入极限（如制动限制）之间的冲突。
• 在自适应巡航控制（ACC）问题中验证该方法，包含安全与速度约束，采用平方根、线性和二次类 $\kappa$ 函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将控制屏障函数推广以处理具有高相对阶约束的系统？
• RQ2 不同类 $\kappa$ 函数（如平方根、线性、二次）对基于HOCBF的控制综合中可行控制区域大小有何影响？
• RQ3 在实际中，如何缓解HOCBF约束与物理控制限制（如制动限制）之间的冲突？
• RQ4 HOCBFs能否在实时二次规划中与控制李雅普诺夫函数（CLFs）有效结合，实现安全且稳定的控制？
• RQ5 在自适应巡航控制等实际应用中，类 $\kappa$ 函数的选择如何影响系统性能与收敛性？

主要发现

• 类 $\kappa$ 函数的选择显著影响可行控制区域：平方根函数导致控制问题过度约束，降低系统性能。
• 当平方根类 $\kappa$ 函数的参数 $p=1$ 时，ACC问题变得过度约束，车辆 $i$ 无法达到期望速度 $v_d$。
• 将 $p$ 增加至 2 时，平方根函数显著改善性能，使车辆能够达到期望速度并保持前向不变性。
• 当线性函数的 $p=1$，二次函数的 $p=0.02$ 时，HOCBF约束不与制动限制冲突，系统保持稳定。
• 在 $t=20\text{s}$ 时，二次函数的HOCBF值保持较高（$12.9729$），而平方根函数的值趋近于零（$2.8964\times10^{-7}$），表明收敛更慢。
• 所有类 $\kappa$ 函数下，集合 $C_1(t)\cap C_2(t)$ 的前向不变性均被维持，仿真结果中 $b(\bm{x}_i(t))\geq0$ 与 $\psi_1(\bm{x}_i(t))\geq0$ 得到验证。