[论文解读] Control of accuracy on Taylor-collocation method to solve the weakly regular Volterra integral equations of the first kind by using the CESTAC method

Samad Noeiaghdam, Denis Sidorov+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 38被引用 31

一句话总结

该论文提出了一种新颖的精度控制框架，用于求解具有不连续核的第一类弱正则Volterra积分方程的泰勒-配点法。通过使用CESTAC方法和CADNA库，将传统的浮点数算术替换为随机算术，采用连续迭代值之间的共同有效数字位数（NCSDs）作为终止准则，证明了近似解与精确解之间的NCSDs与连续近似解之间的NCSDs几乎相等。该方法可在无需精确解或调节容差ε的情况下，实现最优迭代、最优逼近和误差检测。

ABSTRACT

Finding the optimal parameters and functions of iterative methods is among the main problems of the Numerical Analysis. For this aim, a technique of the stochastic arithmetic (SA) is used to control of accuracy on Taylor-collocation method for solving first kind weakly regular integral equations (IEs). Thus, the CESTAC (Controle et Estimation Stochastique des Arrondis de Calculs) method is applied and instead of usual mathematical softwares the CADNA (Control of Accuracy and Debugging for Numerical Applications) library is used. Also, the convergence theorem of presented method is illustrated. In order to apply the CESTAC method we will prove a theorem that it will be our licence to use the new termination criterion instead of traditional absolute error. By using this theorem we can show that number of common significant digits (NCSDs) between two successive approximations are almost equal to NCSDs between exact and numerical solution. Finally, some examples are solved by using the Taylor-collocation method based on the CESTAC method. Several tables of numerical solutions based on the both arithmetics are presented. Comparison between number of iterations are demonstrated by using the floating point arithmetic (FPA) for different values of $\varepsilon$.

研究动机与目标

• 解决在第一类Volterra积分方程数值方法中选择最优参数和停止准则的关键挑战。
• 克服传统浮点数算术（FPA）的局限性，如对未知精确解的依赖以及收敛准则中容差ε的任意性。
• 开发一种可靠且自验证的方法，用于求解具有不连续核的弱正则Volterra积分方程，采用随机算术。
• 建立理论基础，证明连续近似解之间的NCSDs与近似解和精确解之间的NCSDs非常接近。
• 通过数值实例展示CESTAC方法相较于传统FPA的优势，实现最优迭代和误差检测。

提出的方法

• 将泰勒-配点法应用于求解具有分段连续核的第一类Volterra积分方程。
• 通过CESTAC方法使用随机算术（SA）控制数值精度，替代传统的浮点数算术（FPA）。
• 采用CADNA库实现随机算术，并检测计算中的数值不稳定性。
• 提出一种基于连续迭代值vₙ与vₙ₋₁之间共同有效数字位数（NCSDs）的新收敛准则。
• 证明了一个理论定理，以证明vₙ与vₙ₋₁之间的NCSDs近似等于vₙ与精确解v之间的NCSDs。
• 通过线性和非线性数值实验对方法进行验证，比较FPA与基于CESTAC的SA方法的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 CESTAC方法能否在无需精确解的情况下，为泰勒-配点法提供一种可靠且自验证的停止准则？
• RQ2 连续近似解之间共同有效数字位数（NCSDs）与近似解和精确解之间NCSDs的关系如何？
• RQ3 在求解第一类Volterra积分方程时，使用随机算术（SA）相较于传统浮点数算术（FPA）有何优势？
• RQ4 在已知精确解未知的情况下，CESTAC方法能否检测到最优迭代、最优逼近和最优误差？
• RQ5 在不同容差值下，与基于FPA的方法相比，所提出方法在收敛速度和精度方面表现如何？

主要发现

• CESTAC方法可在无需精确解知识的情况下，准确检测最优迭代和最优逼近。
• 连续近似解vₙ与vₙ₋₁之间的共同有效数字位数（NCSDs）与vₙ和精确解v之间的NCSDs几乎相等，验证了新停止准则的有效性。
• 对于例4，CESTAC方法在n=9时识别出最优迭代，误差为3.2×10⁻³；而FPA在ε=10⁻⁵时于n=9停止，但对更大的ε值无法检测到最优性。
• 对于例5，CESTAC方法在n=9时实现最优收敛，误差为2×10⁻⁶；而FPA在ε=10⁻⁵时于n=6停止，但未达到最优精度。
• 基于CESTAC的方法检测到数值不稳定性并提供了可靠的误差估计，而基于FPA且固定ε的方法结果不一致，取决于ε的取值。
• 所提出方法与容差ε无关，且无需精确解，因此在实际应用中更具鲁棒性和实用性。