[论文解读] Control of Homodirectional and General Heterodirectional Linear Coupled Hyperbolic PDEs

Long Hu, Florent Di Meglio+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于PDE反步法的一般性解决方案，用于耦合线性双曲型PDE的边界稳定与轨迹跟踪，涵盖任意数量方程及任意耦合的同向（所有PDE同向对流）与异向（PDE反向对流）系统。关键贡献是一种基于Volterra积分变换的新设计方法，通过全状态反馈与基于观测器的输出反馈实现有限时间稳定，其适定性通过一种递归有界性方法得到证明。

ABSTRACT

Research on stabilization of coupled hyperbolic PDEs has been dominated by the focus on pairs of counter-convecting ("heterodirectional") transport PDEs with distributed local coupling and with controls at one or both boundaries. A recent extension allows stabilization using only one control for a system containing an arbitrary number of coupled transport PDEs that convect at different speeds against the direction of the PDE whose boundary is actuated. In this paper we present a solution to the fully general case, in which the number of PDEs in either direction is arbitrary, and where actuation is applied on only one boundary (to all the PDEs that convect downstream from that boundary). To solve this general problem, we solve, as a special case, the problem of control of coupled "homodirectional" hyperbolic linear PDEs, where multiple transport PDEs convect in the same direction with arbitrary local coupling. Our approach is based on PDE backstepping and yields solutions to stabilization, by both full-state and observer-based output feedback, trajectory planning, and trajectory tracking problems.

研究动机与目标

• 解决长期存在的耦合线性双曲型PDE稳定化问题，其包含任意数量的同向与异向对流方程。
• 将现有反步法扩展至单一受控PDE以外的情况，处理同向或反向对流的多PDE系统。
• 设计一种边界反馈律，确保异向系统中所有状态实现有限时间收敛至零，同向系统中实现轨迹跟踪。
• 通过一种新颖的递归有界性技术，建立所得核积分方程的适定性。

提出的方法

• 采用PDE反步法，将原始耦合双曲型PDE系统变换为具有级联结构的目标系统。
• 使用Volterra积分变换将原始系统映射至目标系统，从而实现稳定与轨迹控制的设计。
• 通过逐次逼近法求解核方程，并利用一种新颖的递归有界性方法证明适定性。
• 设计中采用特定的目标系统选择，使得可应用经典积分变换。
• 该方法可处理任意耦合系数及任意数量的PDE，适用于同向与异向对流情形。
• 基于相同反步框架构建了基于观测器的输出反馈，实现仅通过边界测量实现稳定。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可通过单一边界控制稳定任意数量的耦合双曲型PDE，其在两个方向上对流（异向）或同向对流？
• RQ2 在具有任意耦合与多PDE的一般情形下，如何建立核积分方程的适定性？
• RQ3 何种目标系统结构可实现一般异向与同向情形下的稳定与轨迹跟踪？
• RQ4 如何将反步变换从单一受控PDE情形扩展至多个同向对流PDE的情形？
• RQ5 核函数的边界值在塑造瞬态性能中起何种作用？

主要发现

• 本文证明了在仅使用一个边界控制的情况下，任意数量PDE的异向系统中所有状态均可实现有限时间收敛至零。
• 对于同向系统，设计了一种边界控制律，确保在未受控边界处精确跟踪给定参考轨迹。
• 通过一种新颖的递归有界性方法证明了核系统的适定性，确保核积分方程解的存在性与唯一性。
• 证明了反步变换是可逆的，且闭环系统在H²范数下具有指数稳定性。
• 该方法对任意耦合系数具有鲁棒性，且无需小增益条件。
• 该框架支持全状态反馈与基于观测器的输出反馈控制，支持实际应用。