[论文解读] Control of one and two homonuclear spins

Domenico D’Alessandro|ArXiv.org|Jun 22, 2001

Neural Networks and Reservoir Computing参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过 SU(2) 和 SU(4) 的李群分解，为一个和两个相互作用的同核自旋-1/2 粒子提出了显式控制律，实现了对任意期望终态的精确控制。该方法采用几何控制，并使用具有任意控制边界和大于最小阈值的灵活终态时间的参数化脉冲序列，通过控制参数的显式公式确保了完全可控性。

ABSTRACT

We consider the problem of steering control for the systems of one spin 1/2 particle and two interacting homonuclear spin 1/2 particles in an electro-magnetic field. The describing models are bilinear systems whose state varies on the Lie group of special unitary matrices of dimensions two and four, respectively. By performing decompositions of Lie groups, taking into account the describing equations at hand, we derive control laws to steer the state of the system to any desired final configuration. Explicit formulas are given for the parameters involved in the control algorithms. Moreover, the proposed algorithms allow for arbitrary bounds on the magnitude of the controls and for some flexibility in the specification of the final time which must be greater than a given value but otherwise arbitrary.

研究动机与目标

• 为电磁场中一个和两个相互作用的自旋-1/2 粒子开发显式控制律。
• 在特殊酉群 SU(2) 和 SU(4) 中实现对任意期望终态配置的态操控。
• 提供控制幅度具有任意边界且终态时间选择灵活的控制算法。
• 利用几何控制和李群分解技术，推导出控制参数的显式公式。

提出的方法

• 采用由 su(n) 李代数中哈密顿量建模的双线性控制系统，其演化由薛定谔方程描述。
• 应用 SU(2) 和 SU(4) 群的分解技术，将控制设计简化为可管理的子问题。
• 采用欧拉参数化和基于旋转的坐标变换，将控制轴对齐至泡利矩阵。
• 通过将目标矩阵表示为生成元指数的乘积，推导出分段常数控制律。
• 利用特定控制下系统演化的时间周期性，将终态时间任意延长至最小阈值以上。
• 通过递归应用旋转操作和本征态恢复协议，构建控制序列以实现目标态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界控制和灵活终态时间下，能否实现对一个和两个同核自旋-1/2 系统的完全可控性？
• RQ2 如何利用 SU(2) 和 SU(4) 的李群分解推导出显式控制律？
• RQ3 几何控制和坐标变换在简化量子自旋系统控制设计中起到什么作用？
• RQ4 如何在任意长的时间内实现单位矩阵，以实现时间灵活的态转移？
• RQ5 哪些显式参数公式可确保 SU(2) 或 SU(4) 中任意终态均可达？

主要发现

• 为 SU(2) 和 SU(4) 系统推导出显式控制律，可实现对群内任意终态的操控。
• 控制算法允许控制幅度具有任意边界，且终态时间可大于最小阈值。
• 通过利用系统演化中本征态恢复的周期性，实现了时间灵活的控制协议。
• 由于系统具有右不变性，终态时间可预先设定，只要超过最小值即可。
• 控制参数通过基于欧拉角和泡利矩阵分解的解析方法显式计算得出。
• 该方法通过组合基于 SU(2) 的构建模块和对角相位矩阵，实现了 SU(4) 控制序列的构建。