[论文解读] Control of tumour growth distributions through kinetic methods

Luigi Preziosi, Giuseppe Toscani+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2020

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 56被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型肿瘤生长动力学模型，通过介观相互作用描述肿瘤大小分布，实现精确的反馈控制疗法。通过扩展为具有可变系数的福克-普朗克方程，该模型表明控制通过改变漂移算子，使平衡分布从重尾的广义伽马分布转变为瘦尾形式，显著降低大尺寸、难以控制的肿瘤风险。

ABSTRACT

The mathematical modeling of tumor growth has a long history, and has been mathematically formulated in several different ways. Here we tackle the problem in the case of a continuous distribution using mathematical tools from statistical physics. To this extent, we introduce a novel kinetic model of growth which highlights the role of microscopic transitions in determining a variety of equilibrium distributions. At variance with other approaches, the mesoscopic description in terms of elementary interactions allows to design precise microscopic feedback control therapies, able to influence the natural tumor growth and to mitigate the risk factors involved in big sized tumors. We further show that under a suitable scaling both the free and controlled growth models correspond to Fokker--Planck type equations for the growth distribution with variable coefficients of diffusion and drift, whose steady solutions in the free case are given by a class of generalized Gamma densities which can be characterized by fat tails. In this scaling the feedback control produces an explicit modification of the drift operator, which is shown to strongly modify the emerging distribution for the tumor size. In particular, the size distributions in presence of therapies manifest slim tails in all growth models, which corresponds to a marked mitigation of the risk factors. Numerical results confirming the theoretical analysis are also presented.

研究动机与目标

• 基于细胞水平的相互作用，构建一种介观动力学模型，以超越传统的确定性常微分方程（ODE）模型。
• 解决传统基于ODE的生长模型的局限性，这些模型在处理生物不确定性方面存在困难，且缺乏细胞治疗与宏观结果之间的直接联系。
• 设计微观反馈控制策略，通过在动力学框架中修改转移速率，明确影响肿瘤大小分布。
• 在尺度化条件下分析所得的福克-普朗克方程，识别控制如何改变漂移和扩散系数，从而塑造平衡分布。
• 证明受控的肿瘤生长可导致瘦尾分布，表明大尺寸、治疗困难的肿瘤风险显著降低。

提出的方法

• 构建一种类似玻尔兹曼的动力学模型，其中肿瘤大小的演化由受环境信号和随机波动影响的基本生长与死亡转变过程决定。
• 定义编码微观生长动力学的转移函数，从而推导出分布函数的介观演化方程。
• 应用流体动力学尺度极限，推导出具有可变扩散和漂移系数的福克-普朗克型方程，以捕捉随机生长过程。
• 在漂移项中引入加法和乘法控制机制，以模拟治疗干预，明确对参数 α(t) 和 xL(t) 进行时间依赖的修改。
• 将受控与未受控模型的稳态解表征为广义伽马分布，自由情况下具有重尾，受控情况下则为瘦尾。
• 通过数值模拟验证理论预测，表明控制能有效将分布从大肿瘤尺寸处转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个肿瘤生长的动力学模型，以反映微观细胞相互作用和环境波动？
• RQ2 反馈控制对肿瘤大小稳态分布的影响是什么，特别是其尾部行为如何？
• RQ3 该动力学模型的尺度极限如何导出具有可变系数的福克-普朗克方程，这对肿瘤大小动力学意味着什么？
• RQ4 控制如何改变福克-普朗克方程中的漂移算子，这又如何影响平衡分布的出现？
• RQ5 受控模型能否产生瘦尾分布，表明与未受控情况相比，大肿瘤的风险显著降低？

主要发现

• 未受控生长模型的稳态分布为具有重尾的广义伽马分布，表明大肿瘤尺寸出现的概率较高。
• 在所提出的控制策略下，平衡分布转变为瘦尾形式，显著降低了肿瘤发展到大尺寸、危险程度的可能。
• 控制机制通过改变福克-普朗克方程中的漂移算子，被证明是重塑肿瘤大小分布的关键驱动力。
• 该动力学模型的尺度极限导出具有可变扩散和漂移系数的福克-普朗克方程，从而在微观相互作用与宏观动力学之间建立了严谨联系。
• 数值结果证实，受控模型显著缓解了与大肿瘤相关的风险因素，表现为尾部分布行为的改变。
• 该模型提供了一个系统化的框架，将细胞水平的治疗行为与宏观结果联系起来，为通过显式控制分布特性来优化治疗方案提供了路径。