[论文解读] Control theory for the Burgers equation: Agrachev-Sarychev approach

Armen Shirikyan|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 8被引用 10

一句话总结

本文将Agrachev-Sarychev方法应用于一维Burgers方程，通过二维外部控制力展示了其近似可控性，并证明了有限维泛函的精确可控性。该方法通过凸化与松弛技术实现了统一的近似可控性，进一步扩展至L²空间中对泛函与轨迹的同步控制。

ABSTRACT

This paper is devoted to a description of a general approach introduced by Agrachev and Sarychev in 2005 for studying some control problems for Navier-Stokes equations. The example of a 1D Burgers equation is used to illustrate the main ideas. We begin with a short discussion of the Cauchy problem and establish a continuity property for the resolving operator. We next turn to the property of approximate controllability and prove that it can be achieved by a two-dimensional external force. Finally, we investigate a stronger property, when the approximate controllability and the exact controllability of finite-dimensional functionals are proved simultaneously.

研究动机与目标

• 通过一维Burgers方程作为原型，阐明Agrachev-Sarychev方法在控制理论中的应用。
• 利用二维外部控制力，建立Burgers方程的近似可控性。
• 证明有限维泛函与轨迹的同步精确可控性。
• 将该方法扩展至控制空间中通过松弛与凸化实现的统一可控性。
• 提供该方法的自包含阐述，重点聚焦关键分析工具及其在非线性PDE中的应用。

提出的方法

• 利用Burgers方程的求解算子分析其在松弛范数下的连续性与适定性。
• 应用凸化技术扩展控制集，实现在弱拓扑下的近似可控性。
• 采用饱和性论证，通过重复应用控制作用生成稠密控制集。
• 利用连续且非负的系数（和为1）对控制函数进行分段常数逼近。
• 应用有限维逼近（命题4.1），将无限维控制问题简化为有限维子空间。
• 构造一个控制映射，其像位于光滑函数的有限维子空间中，能统一逼近目标轨迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 Agrachev-Sarychev方法能否通过二维控制力实现对一维Burgers方程的近似可控性？
• RQ2 是否能够同时实现状态的近似可控性与有限维泛函的精确可控性？
• RQ3 如何在控制空间中通过松弛与凸化建立统一的近似可控性？
• RQ4 求解算子的连续性在弱收敛下证明可控性时起到何种作用？
• RQ5 该方法能否扩展至适定性无法预先保证的系统？

主要发现

• Burgers方程的求解算子在松弛范数下是连续的，确保了在控制弱收敛下解的稳定性。
• 通过二维外部控制力实现了近似可控性，且控制空间为有限维。
• 对于L²中紧子集内的任意初态与目标态，可通过有限维子空间中的控制使解任意接近目标。
• 通过构造一个在实现近似轨迹控制的同时保持泛函值不变的控制，证明了有限维泛函的精确可控性。
• 通过连续控制映射建立了统一的近似可控性，其像位于光滑函数的有限维子空间中。
• 该方法可将任意连续控制映射逼近为具有非负系数且和为1的分段常数控制，从而实现实际应用。