[论文解读] Controllability and reachability of singular linear discrete time systems

Charalambos P. Kontzalis, Grigoris I. Kalogeropoulos|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 22被引用 11

一句话总结

本文提出一种矩阵束方法，用于分析奇异线性离散时间系统的可控性与可到达性，利用Weierstrass标准型将系统分解为有限与无限特征结构分量。主要贡献在于基于变换后子系统的秩条件，建立了可控性的必要与充分条件，从而能够显式刻画从零初始状态和非零初始状态出发的可到达集，并将结果应用于分数阶差分系统及实际模型。

ABSTRACT

The main objective of this article is to develop a matrix pencil approach for the study of the controllability and reachability of a class of linear singular discrete time systems. The description equation of a practical system may be established through selection of the proper state variables. Time domain analysis is the method of analyzing the system based on this description equation, through which we may gain a fair understanding of the system's structural features as well as its internal properties. Using time domain analysis, this article studies the fundamentals in system theory such as reachability and controllability.

研究动机与目标

• 开发一种系统化框架，利用矩阵束理论分析奇异线性离散时间系统的可控性与可到达性。
• 将现有可控性结果扩展至状态矩阵F奇异（det F = 0）的奇异系统，这些系统未被标准线性系统理论涵盖。
• 显式刻画从零初始条件出发的可到达集，以及从固定终端条件出发的可到达集，包括其对系统结构的依赖性。
• 基于Weierstrass标准型导出的子系统秩条件，建立可控性的必要与充分条件。
• 使结果可应用于分数阶nabla差分方程及其他经济学、种群动力学与物理学中的差分方程模型。

提出的方法

• 通过非奇异变换 $P$ 和 $Q$，利用Weierstrass标准型对奇异系统 $FX_{k+1} = GX_k + BV_k$ 进行分解，得到块对角结构。
• 将系统转换为两个解耦子系统：有限动态子系统 $Y^p_{k+1} = J_p Y^p_k + B_p V_k$ 和脉冲子系统 $H_q Y^q_{k+1} = Y^q_k + B_q V_k$。
• 推导显式状态响应公式：$Y^p_k = J_p^k Y^p_0 + \sum_{i=0}^{k-1} J_p^{k-i-1} B_p V_i$ 和 $Y^q_k = -\sum_{i=0}^{q_*-1} H_q^i B_q V_{k+i}$（$k \leq M$）。
• 将从零初始条件出发的可到达集定义为由变换坐标系中 $B_p$ 和 $B_q$ 构造的可控性矩阵的像。
• 利用矩阵 $T = \text{diag}\left( [B_p, J_p B_p, \dots, J_p^{i-1} B_p], [B_q, H_q B_q, \dots, H_q^{j-1} B_q] \right)$ 表示输入到状态的映射。
• 通过 $T$ 的行满秩性建立可控性，得出必要与充分条件：$\text{rank}\left[ B_p, J_p B_p, \dots, J_p^{i-1} B_p \right] = p$ 与 $\text{rank}\left[ B_q, H_q B_q, \dots, H_q^{j-1} B_q \right] = q$。

实验结果

研究问题

• RQ1 奇异线性离散时间系统中，当状态矩阵奇异时，其可控性的必要与充分条件是什么？
• RQ2 如何从系统参数与输入序列的角度，显式刻画从零初始状态出发的可到达集？
• RQ3 可到达集如何依赖于固定终端状态？在存在脉冲动态的情况下，其结构形式如何？
• RQ4 Weierstrass标准型如何用于解耦并分析系统的有限与无限特征结构分量？
• RQ5 所推导的条件在何种方式下可推广至分数阶nabla差分方程系统？

主要发现

• 全系统的可控性等价于其有限与无限子系统的联合可控性，条件是每个子系统的可控性矩阵的秩等于该子系统的维数。
• 从零初始条件出发的可到达集是可控性矩阵 $T$ 的像，该矩阵通过 $Y_k = TV$ 将输入序列映射到可到达状态。
• 对于固定终端条件 $Y^q_M$，初始可到达集 $\Re(Y^q_M)$ 为 $M_{p1} \oplus \left\{ H_q^{M-k} Y^q_M - \sum_{i=0}^{M-k-1} H_q^i B_q V_{k+i} \right\} \cup \{ Y^q_M \}$，表明其依赖于未来输入。
• 时刻 $k$ 的状态不仅依赖于过去输入与初始状态，还依赖于未来输入与终端状态，尤其在 $Y^q$ 子系统中，由于 $H_q$ 的结构而尤为明显。
• 系统可控当且仅当 $\text{rank}\left[ B_p, J_p B_p, \dots, J_p^{i-1} B_p \right] = p$ 且 $\text{rank}\left[ B_q, H_q B_q, \dots, H_q^{j-1} B_q \right] = q$，从而确保对有限与无限动态的完全控制。
• 一个实例表明，从固定终端状态 $Y^q_M$ 出发的可到达集包含 $H_q^{M-k} Y^q_M$ 的贡献以及未来输入的影响，且可通过所推导的公式进行显式计算。