[论文解读] Controllability, Observability, Realizability, and Stability of Dynamic Linear Systems

John M. Davis, Ian Gravagne+2 more|ArXiv.org|Jan 23, 2009

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用 67

一句话总结

本文为非均匀时标上的动态线性系统发展了一套统一的线性系统理论，将经典连续和离散情形下的能控性、能观性、实现性和稳定性概念进行扩展。通过广义拉普拉斯变换方法，建立了能控 Gramian 可逆性与秩条件作为能控性的充要条件，并证明了在时不变系统中，当系统满足能控性和能观性时，BIBO 稳定性与指数稳定性等价。

ABSTRACT

We develop a linear systems theory that coincides with the existing theories for continuous and discrete dynamical systems, but that also extends to linear systems defined on nonuniform time domains. The approach here is based on generalized Laplace transform methods (e.g. shifts and convolution) from our recent work \cite{DaGrJaMaRa}. We study controllability in terms of the controllability Gramian and various rank conditions (including Kalman's) in both the time invariant and time varying settings and compare the results. We also explore observability in terms of both Gramian and rank conditions as well as realizability results. We conclude by applying this systems theory to connect exponential and BIBO stability problems in this general setting. Numerous examples are included to show the utility of these results.

研究动机与目标

• 统一并扩展经典线性系统理论——涵盖非均匀时标上动态系统的能控性、能观性、实现性和稳定性。
• 通过采用广义拉普拉斯变换技术，克服现有方法在非均匀粒度下失效的局限性。
• 在时变与时不变两种情形下，基于能控 Gramian 和秩条件，建立能控性的必要与充分条件。
• 在时不变系统中，证明 BIBO 稳定性与指数稳定性之间的等价性，前提是系统满足能控性和能观性。
• 基于时标稳定性区域中极点位置，提供 BIBO 稳定性的传递函数表征。

提出的方法

• 使用广义拉普拉斯变换方法，包括移位与卷积运算，分析具有有界粒度的任意时标上的系统。
• 将能控 Gramian 定义为 $ \mathscr{G}_{C}(t_0,t_f) = \int_{t_0}^{t_f} \Phi_A(t_0,\sigma(t)) B(t) B^T(t) \Phi_A^T(t_0,\sigma(t)) \Delta t $，其中 $ \Phi_A $ 为状态转移矩阵。
• 应用状态转移矩阵 $ \Phi_A(t,t_0) $ 和矩阵指数 $ e_A(t,0) $ 来表示回归系统解的表达形式。
• 采用矩阵表示 $ Ce_A(t,0)B = \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^{\psi_k} N_{kj} \frac{f_{j-1}(\mu,\lambda_k)}{(j-1)!} e_{\lambda_k}(t,0) $ 来分析时域行为。
• 通过对传递函数 $ G(z) = C(zI - A)^{-1}B $ 进行部分分式分解，利用极点在稳定性区域 $ \mathcal{S}(\mathbb{C}) $ 内的位置来分析稳定性。
• 采用反证法与 $ Ce_A(t,0)B $ 的时间导数分析，证明脉冲响应的衰减意味着矩阵指数的指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 Gramian 和秩条件，在非均匀时标上的时变线性系统中表征能控性？
• RQ2 在时标动态系统背景下，什么条件能确保能观性和实现性？
• RQ3 在时标上的时不变系统中，BIBO 稳定性与指数稳定性在何种条件下等价？
• RQ4 如何利用传递函数 $ G(z) = C(zI - A)^{-1}B $ 通过极点位置来判断 BIBO 稳定性？
• RQ5 广义拉普拉斯变换在统一连续与离散系统理论于任意时标方面起到何种作用？

主要发现

• 能控 Gramian $ \mathscr{G}_C(t_0,t_f) $ 可逆当且仅当系统在 $[t_0,t_f]$ 上是能控的。
• 对于时不变系统，指数稳定性蕴含 BIBO 稳定性；在能控性和能观性条件下，BIBO 稳定性也蕴含指数稳定性。
• 当且仅当传递函数 $ G(z) = C(zI - A)^{-1}B $ 的所有极点位于时标的稳定性区域 $ \mathcal{S}(\mathbb{C}) $ 内时，系统是 BIBO 稳定的。
• 当且仅当矩阵 $ A $ 的所有特征值 $ \lambda_k $ 属于 $ \mathcal{S}(\mathbb{C}) $ 时，脉冲响应 $ Ce_A(t,0)B $ 随 $ t \to \infty $ 衰减至零，从而保证指数稳定性。
• 当且仅当系统是指数稳定时，矩阵指数 $ e_A(t,0) $ 随 $ t \to \infty $ 趋于零，这由 $ \mathscr{G}_O^a e_A(t,0) \mathscr{G}_C^a $ 的衰减所推出。
• 该方法通过使用在粒度非恒定时仍有效的基于拉普拉斯的技巧，避免了先前工作中出现的错误。