[论文解读] Controllability of linear systems on Lie groups with finite semisimple center

Adriano Da Silva, Víctor Ayala|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

advanced mathematical theories参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文建立了具有有限半单中心的连通李群上线性控制系统的可控制性充分条件。证明了若漂移导子𝒟仅具有纯虚特征值（实部为零），且从单位元出发的可达集具有非空内部，则系统是可控制的。该结果扩展了对可解群与幂零群的先前工作，并适用于如在旋转平面上滚动的球体等物理系统。

ABSTRACT

In this paper we extend the results on controllability of linear systems obtained in "Controllability of linear systems on solvable Lie groups", from solvable Lie groups to Lie groups with finite semisimple center.

研究动机与目标

• 将线性系统在李群上的可控制性结果扩展至可解群与幂零群之外的情形。
• 解决一般李群上线性系统可控制性稀少且非局部的挑战。
• 识别当群具有有限半单中心时，可控制性成立的代数条件。
• 提供一个适用于如在旋转平面上滚动的球体等物理系统的框架。
• 将 ad-秩条件与可及集分析推广至更广泛的李群类别。

提出的方法

• 分析连通李群G（其李代数为𝔤）上的线性系统，其由𝔤-导子𝒟诱导的线性向量场𝒳驱动。
• 利用𝒟的广义特征空间分解，特别关注零特征值广义特征空间𝔤⁰。
• 应用G具有有限半单中心的条件，以确保子群G⁰ = ⟨exp(𝔤⁰)⟩包含于可达集𝒜中。
• 采用ad-秩条件与可及集开性（存在τ₀ > 0使得e ∈ int𝒜ₜ₀）作为关键结构假设。
• 应用控制集与半群结构理论，利用文献[6]中的结果：𝒜是半群当且仅当𝒜 = G。
• 利用当𝒟的所有特征值实部为零时，𝔤⁰上的动力学为中性，从而实现可控制性的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有限半单中心的连通李群上，线性控制系统的可控制性在何种条件下成立？
• RQ2 导子𝒟的谱如何影响系统的可控制性？
• RQ3 可解群上的可控制性结果能否推广至具有有限半单中心的非可解群？
• RQ4 可达集的内部（e ∈ int𝒜ₜ₀）在确保全局可控制性中起什么作用？
• RQ5 如何将旋转平面上滚动的球体建模并控制为G = ℝ² × SO(3)上的线性系统？

主要发现

• 若李群G具有有限半单中心，且漂移导子𝒟仅具有实部为零的特征值，则当存在τ₀ > 0使得e ∈ int𝒜ₜ₀时，系统是可控制的。
• 由𝒟的零特征值广义特征空间𝔤⁰生成的子群G⁰ = ⟨exp(𝔤⁰)⟩包含于可达集𝒜中。
• 该结果推广了先前对可解李群的工作，其中相同的谱条件与开性条件即蕴含可控制性。
• 对于在旋转平面上滚动的球体，其建模为G = ℝ² × SO(3)上的𝔰𝔬(3)-齐次线性系统，由于谱条件与有限半单中心，系统是可控制的。
• 论文中的系统(6)是可控制的，因为𝒟的谱为{0, ±ωi}，ad-秩条件成立，且G具有有限半单中心。
• 在SL(2,ℝ)上的例子中，𝒟 = ad(Y)且控制作用于Z，当Spec(𝒟) = {0}时系统可控制，因为ad-秩条件与谱条件均满足。