[论文解读] Controllability of random systems: Universality and minimal controllability

Sean O’Rourke, Behrouz Touri|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 12被引用 11

一句话总结

该论文证明了随机线性系统，特别是具有 Wigner 或 Erdős–Rényi 随机矩阵以及通用输入向量的系统，在系统规模增大时，以高概率具有可控性。利用近期在特征值间距普遍性及逆 Littlewood-Offord 理论方面的进展，作者证明了可控性在一大类随机矩阵集合中具有普遍性，解决了关于随机邻接矩阵最小可控性的若干猜想。

ABSTRACT

For a large class of random matrices $A$ and vectors $b$, we show that linear systems formed from the pair $(A,b)$ are controllable with high probability. Despite the fact that minimal controllability problems are, in general, NP-hard, we establish universality results for the minimal controllability of random systems. Our proof relies on the recent developments of Nguyen-Tao-Vu concerning gaps between eigenvalues of random matrices.

研究动机与目标

• 解决猜想：当与标准基向量配对时，Erdős–Rényi 随机邻接矩阵以高概率具有可控性。
• 在 Wigner 和随机矩阵类型的一类广泛随机系统中，建立可控性的普遍性。
• 为为何最小可控性在大规模随机系统中并非显著障碍提供理论基础。
• 将分析扩展至正交不变随机矩阵集合及单位球面上的输入向量。

提出的方法

• 使用 Kalman 的秩条件作为单输入系统可控性的判据。
• 应用 Nguyen、Tao 和 Vu 的近期关于特征值间距的结果，以控制随机矩阵谱中出现小间距的概率。
• 运用逆 Littlewood-Offord 理论，界定随机向量落在由 A 和 b 的幂次构成的矩阵的核中的概率。
• 将可控性问题简化为：以高概率，A 的特征向量不与输入向量 b 正交。
• 利用旋转不变性与 Haar 测度，将分析简化为随机单位向量输入的情形。
• 证明：当 A 的元素 i.i.d. 且 b 为通用向量时，可控性矩阵以至少 1 - Cn^{-α} 的概率具有满秩。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 Erdős–Rényi 随机邻接矩阵 A，当 n → ∞ 时，对所有 i = 1, ..., n，对 (A, e_i) 是否仍以高概率保持可控？
• RQ2 在大规模随机系统中，对全1向量输入 (A, 1_n)，其可控性是否也极有可能成立？
• RQ3 可控性普遍性结果能否从 Wigner 矩阵扩展至其他随机矩阵集合？
• RQ4 考虑到一般情况下最小可控性问题是 NP-难的，其在大规模随机系统中行为如何？
• RQ5 矩阵元素的独立性假设在多大程度上影响可控性的普遍性？

主要发现

• 对于具有 i.i.d. 元素的 Wigner 矩阵及任意固定非零向量 b，对 (A, b) 的可控性概率至少为 1 - Cn^{-α}（其中 α > 0）。
• 当 n → ∞ 时，对所有 i = 1, ..., n，(A, e_i) 以高概率可控，证实了猜想 1 的更强版本。
• 对于正交不变随机矩阵 M 及随机单位向量 u，(M, u) 以概率 1 可控。
• 该结果可扩展至 b 为与 A 独立的 i.i.d. 元素随机向量的情形，确保高概率可控性。
• 即使 b 是具有 i.i.d. 元素的确定性向量（只要不为零），可控性概率仍保持较高。
• 作者证明了可控性在一大类随机矩阵集合中具有普遍性，表明在大规模随机系统中最小可控性并非关注重点。