[论文解读] Controllable Subsets in Graphs

Chris Godsil|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Graph theory and applications参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文引入并发展了图中可控子集的理论，定义图对 $(X,S)$ 可控当且仅当行走矩阵 $W_S = [z, Az, \ldots, A^{v-1}z]$ 可逆，其中 $z$ 是子集 $S$ 的特征向量。主要贡献在于：可控性蕴含邻接矩阵的所有特征值均为单重，且唯一保持 $S$ 不变的自同构是恒等自同构，从而通过谱特征与代数刻画将图论与控制理论相联系。

ABSTRACT

Let $X$ be a graph on $v$ vertices with adjacency matrix $A$, and let let $S$ be a subset of its vertices with characteristic vector $z$. We say that the pair $(X,S)$ is controllable if the vectors $A^rz$ for $r=1,\ldots,v-1$ span $\mathbb{R}^v$. Our concern is chiefly with the cases where $S=V(X)$, or $S$ is a single vertex. In this paper we develop the basic theory of controllable pairs. We will see that if $(X,S)$ is controllable then the only automorphism of $X$ that fixes $S$ as a set is the identity. If $(X,S)$ is controllable for some subset $S$ then the eigenvalues of $A$ are all simple.

研究动机与目标

• 形式化并分析图-子集对 $(X,S)$ 的可控性概念，将控制理论的思想拓展至图论。
• 通过谱分解与有理函数，建立可控性的必要与充分条件。
• 证明可控性蕴含强结构约束，如所有特征值均为单重，且唯一保持 $S$ 不变的自同构是恒等映射。
• 将图论中的可控性与代数结构（包括矩阵代数与动力系统中的可观测性）相联系。

提出的方法

• 通过行走矩阵 $W_S = [z, Az, \ldots, A^{v-1}z]$ 的可逆性定义图对 $(X,S)$ 的可控性，其中 $z$ 是子集 $S$ 的特征向量。
• 利用谱分解 $A = \sum \theta E_\theta$，证明 $\operatorname{col}(W_S)$ 由 $E_\theta z$ 张成（$\theta$ 属于 $z$ 的支集），从而将可控性与非零投影的相异特征值数量关联。
• 通过有理函数 $z^T(tI - A)^{-1}z$ 刻画可控性，证明 $(X,S)$ 可控当且仅当该函数恰有 $v$ 个相异极点。
• 建立可控性与 $A$ 和 $zz^T$ 生成整个矩阵代数之间的等价关系，利用 $A^i z z^T A^j$ 在 $0 \leq i,j < v$ 时的线性无关性。
• 应用同构不变性：两对 $(X,y)$ 与 $(Y,z)$ 同构当且仅当 $A$ 与 $B$ 相似，且其有理函数 $y^T(tI - A)^{-1}y$ 与 $z^T(tI - B)^{-1}z$ 相等。
• 通过将行走矩阵解释为可控性矩阵、有理函数解释为传递函数，建立与控制理论的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，图-子集对 $(X,S)$ 是可控的？即行走矩阵 $W_S$ 可逆的条件是什么？
• RQ2 可控性如何约束图的自同构群，特别是与子集 $S$ 的关系如何？
• RQ3 为使 $(X,S)$ 可控，邻接矩阵 $A$ 必须满足何种谱性质，尤其是关于特征值重数的条件？
• RQ4 可控性概念能否推广至拉普拉斯矩阵及边的修改？
• RQ5 矩阵 $A$ 与 $zz^T$ 生成整个矩阵代数 $\mathrm{Mat}_{v \times v}(\mathbb{R})$ 的精确代数条件是什么？

主要发现

• 图-子集对 $(X,S)$ 可控当且仅当有理函数 $z^T(tI - A)^{-1}z$ 恰好有 $v$ 个相异极点，其中 $z$ 是 $S$ 的特征向量。
• 若 $(X,S)$ 可控，则邻接矩阵 $A$ 的所有特征值均为单重，因为极点数等于顶点数。
• 任何保持 $S$ 作为集合不变的图自同构必为恒等自同构，这是由于行走矩阵 $W_S$ 可逆所致。
• $(X,S)$ 的可控性等价于矩阵 $A^i z z^T A^j$（$0 \leq i,j < v$）构成整个矩阵代数 $\mathrm{Mat}_{v \times v}(\mathbb{R})$ 的一组基。
• $(X,S)$ 可控当且仅当由 $z$ 生成的 $A$-模张成 $\mathbb{R}^v$，这等价于行走矩阵 $W_S$ 满秩。
• 对于单个顶点 $u$，有理函数 $z^T(tI - A)^{-1}z$ 等于 $\phi(X \setminus u, t)/\phi(X,t)$，从而为行走矩阵行列式提供了递归刻画。