[论文解读] Controlled Floyd Separation and Non Relatively Hyperbolic Groups

Shubhabrata Das, Mahan Mj|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文构造了一个有限生成群 $G = F_2 *_K F_2$，其中 $K$ 是自由群中一个无限生成的马尔诺尔德子群，使得 $G$ 相对于任何真子群都不是双曲的，具有不可数无穷多个在拟测地线意义下弗洛伊德分离的测地线射线，并且尽管具有强几何特征（如是双曲 CAT(0) 乘积群的直接极限且所有有限呈现子群均为双曲），其弗洛伊德边界仍为平凡（单点）。

ABSTRACT

We introduce the notion of controlled Floyd separation between geodesic rays starting at the identity in a finitely generated group G. Two such geodesic rays are said to be Floyd separated with respect to quasigeodesics if the (Floyd) length of c-quasigeodesics (for fixed but arbitrary c) joining points on the geodesic rays is asymptotically bounded away from zero. This is always satisfied by Morse geodesics. The main purpose of this paper is to furnish an example of a finitely generated group $G$ such that 1) all finitely presented subgroups of G are hyperbolic, 2) G has an uncountable family of geodesic rays that are Floyd separated with respect to quasigeodesics, 3) G is not hyperbolic relative to any collection of proper subgroups. 4) G is a direct limit of hyperbolic CAT(0) cubulated groups. 5) G has trivial Floyd boundary in the usual sense. On the way towards constructing $G$, we construct a malnormal infinitely generated (and hence non-quasiconvex) subgroup of a free group, giving negative evidence towards a question of Swarup and Gitik.

研究动机与目标

• 构造一个有限生成群 $G$，其相对于任何真子群都不是双曲的，尽管具有强几何与代数特征。
• 证明在 $G$ 中存在不可数无穷多个测地线射线，这些射线在拟测地线意义下是弗洛伊德分离的，表明在受控度量下存在非平凡的边界结构。
• 证明 $G$ 的弗洛伊德边界为平凡（单点），从而挑战已知的平凡性障碍，例如 $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ 或宽群的存在。
• 提供一个反例，以反驳关于非平凡弗洛伊德边界的潜在刻画，即构造一个具有受控弗洛伊德分离但边界为平凡的群。
• 证明在自由群中存在一个无限生成的马尔诺尔德子群，为斯瓦鲁普与吉蒂克关于拟凸性与马尔诺尔德性的疑问提供反例证据。

提出的方法

• 将 $G = F_2 *_K F_2$ 构造为沿一个马尔诺尔德拟凸子群的递增并集 $K = \bigcup_n K_n$ 对自由群的双重扩张。
• 使用图式分级小扩张理论，确保 $G$ 满足 $GSC_3$ 条件且为间隙双曲群，从而在渐近锥中蕴含双曲性。
• 通过分析 $G$ 中测地线射线之间拟测地线路径的弗洛伊德长度，建立受控弗洛伊德分离，证明其长度远离零。
• 通过证明在弗洛伊德度量下，子群 $F_2(a,b)$ 与 $F_2(x,y)$ 的所有极限点重合，从而证明弗洛伊德边界的平凡性，利用具有对称拟测地线结构的相对关系 $R_m$。
• 利用渐近锥与树状分块空间理论分析 $G$ 的几何结构，证明极限圆周在渐近锥中仅以平凡方式相交，且不存在割点。
• 应用相对双曲性、拟凸性与收敛作用的相关结果，证明 $G$ 在弗洛伊德边界上的作用是极小且平凡的。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个有限生成群能否在非相对双曲的前提下，存在不可数无穷多个在拟测地线意义下弗洛伊德分离的测地线射线？
• RQ2 弗洛伊德边界的平凡性是否足以推出相对双曲性，或者它是否可能出现在具有强几何特征（如双曲乘积群的直接极限）的群中？
• RQ3 在自由群中能否存在无限生成的马尔诺尔德子群，这对此类子群的拟凸性与双曲嵌入意味着什么？
• RQ4 测地线射线之间受控的弗洛伊德分离是否意味着弗洛伊德边界的非平凡性，还是此类分离可能与平凡边界共存？
• RQ5 一个群能否是双曲乘积群的直接极限，同时仍具有平凡的弗洛伊德边界，即使其所有有限呈现子群均为双曲？

主要发现

• 群 $G = F_2 *_K F_2$ 相对于任何真子群集合都不是双曲的，如定理 4.1 所示。
• 在 $G$ 中存在不可数无穷多个测地线射线，它们在任意 $\kappa > 1$ 的 $(\kappa,\kappa)$-拟测地线意义下是弗洛伊德分离的，如定理 7.1 所证。
• 弗洛伊德边界 $\partial_f G$ 仅由一个点构成，因此是平凡的，如定理 8.1 所证。
• 所有 $G$ 的有限呈现子群均为双曲，且 $G$ 不包含任何 Baumslag-Solitar 群 $BS(m,n)$，如命题 3.11 所述。
• $K = \bigcup_n K_n$ 是 $F_2$ 中的马尔诺尔德子群且无限生成，为斯瓦鲁普与吉蒂克关于马尔诺尔德子群拟凸性的问题提供了否定答案。
• 群 $G$ 的渐近锥中不包含割点，且极限圆周与 $K_2$ 的渐近锥仅以平凡方式相交，如定理 6.7 所示。