[论文解读] Controlled Geometry via Smoothing

Peter Petersen, Guofang Wei+1 more|ArXiv.org|Aug 23, 1995

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对具有统一弱范数的黎曼度量的一般平滑程序，使其能够被任意高正则性的度量逼近。作为关键结果，该文推广了格罗莫夫的近乎平坦流形定理，并在曲率与直径有界条件下证明了统一的贝蒂数估计。

ABSTRACT

We prove that Riemannian metrics with a uniform weak norm can be smoothed to having arbitrarily high regularity. This generalizes all previous smoothing results. As a consequence we obtain a generalization of Gromov's almost flat manifold theorem. A uniform Betti number estimate is also obtained.

研究动机与目标

• 开发一种将具有弱正则性的黎曼度量平滑至任意光滑度的一般方法。
• 将格罗莫夫的近乎平坦流形定理推广至更广泛的曲率与几何条件。
• 为具有受控几何的流形建立贝蒂数的统一上界。
• 通过在弱范数下工作，推广黎曼几何中先前的平滑结果。
• 通过低正则性度量的正则化，提供一种受控几何的框架。

提出的方法

• 利用截断函数和局部单位分解，在黎曼度量上采用基于卷积的平滑技术。
• 应用加权范数控制，确保平滑后的度量在弱索伯列夫范数下保持统一有界。
• 使用与正常坐标覆盖相关的局部单位分解，以局部化平滑过程。
• 使用截断函数在局部坐标中局部化度量，并应用光滑化处理。
• 应用局部单位分解，将局部平滑度量拼接为全局光滑度量。
• 通过建立对曲率与直径的统一控制，推导出拓扑约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有统一弱范数的黎曼度量能否被平滑至任意正则性？
• RQ2 格罗莫夫的近乎平坦流形定理在多大程度上可以超越原始的曲率与直径假设进行推广？
• RQ3 从曲率与直径控制中，可以推导出哪些统一的拓扑约束，例如贝蒂数上界？
• RQ4 如何使平滑过程在流形上保持统一且全局有效，而无需高初始正则性？
• RQ5 弱范数控制与存在具有受控几何的光滑逼近之间存在何种关系？

主要发现

• 任何具有统一弱范数的黎曼度量都可以被光滑逼近为任意高正则性的度量。
• 平滑过程保持了曲率与直径的统一有界性，从而实现了全局几何控制。
• 对于具有有界直径和弱曲率控制的流形，建立了贝蒂数的统一上界。
• 该方法通过在更广泛的弱正则度量类中工作，推广了黎曼几何中所有先前的平滑结果。
• 证明了推广后的近乎平坦流形定理，表明具有近乎零曲率和有界直径的流形其贝蒂数具有统一有界性。
• 结果在最小正则性假设下成立，将受控几何的适用范围扩展至正则性较低的初始数据。