[论文解读] Controlled KK-theory, and a Milnor exact sequence

Rufus Willett, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文为可分C*-代数A和B引入了受控KK-理论群，定义为在给定误差ε内与A的有限子集近似可交换的乘子代数中投影的路径连通分支。关键结果建立了一个米尔诺正合序列，将这些受控群与卡斯帕罗夫的KK-理论联系起来，将罗尔达姆的KL-群识别为受控KK-理论群的逆极限，预期在后续工作中应用于UCT和核C*-代数。

ABSTRACT

We introduce controlled $KK$-theory groups associated to a pair $(A,B)$ of separable $C^*$-algebras. Roughly, these consist of elements of the usual $K$-theory group $K_0(B)$ that approximately commute with elements of $A$. Our main results show that these groups are related to Kasparov's $KK$-groups by a Milnor exact sequence, in such a way that Rørdam's $KL$-group is identified with an inverse limit of our controlled $KK$-groups. In the case that the $C^*$-algebras involved satisfy the UCT, our Milnor exact sequence agrees with the Milnor sequence associated to a $KK$-filtration in the sense of Schochet, although our results are independent of the UCT. Applications to the UCT will be pursued in subsequent work.

研究动机与目标

• 开发一种新的KK-理论框架，通过控制算子可交换性，实现C*-代数理论中更灵活的计算。
• 建立一个类米尔诺的正合序列，将受控KK-理论群与标准KK-理论联系起来，推广已知结果且不依赖于UCT。
• 将罗尔达姆的KL-群识别为受控KK-理论群的逆极限，为该不变量提供新的解释。
• 为未来使用受控K-理论技术研究UCT和核C*-代数的分类奠定基础。
• 通过单位吸收表示和交织论证，确保受控KK-理论构造的表示无关性。

提出的方法

• 将受控KK-理论群 $KK_\epsilon(X,B)$ 定义为 $M_2(M(B\otimes\mathcal{K}))$ 中与有限子集 $X \subset A$ ε-可交换的投影的路径连通分支。
• 使用嵌套的有限子集序列 $(X_n)$ 和趋于零的误差参数序列 $(\epsilon_n) \to 0$，构造逆极限 $\varprojlim KK_{\epsilon_n}(X_n,B)$ 和 $\varprojlim^1 KK_{\epsilon_n}(X_n,SB)$。
• 构造一个米尔诺正合序列：$0 \to \varprojlim^1 KK_{\epsilon_n}(X_n,SB) \to KK(A,B) \to \varprojlim KK_{\epsilon_n}(X_n,B) \to 0$。
• 通过单位吸收表示，建立 $KL(A,B)$ 与受控KK-理论群逆极限之间的同构。
• 利用引理A.15中的酉交织技术，证明受控KK-理论构造的表示无关性。
• 利用共等距空间的路径连通性及酉同伦，证明受控KK-理论中的某些类等价于标准投影。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过控制算子可交换性对卡斯帕罗夫的KK-理论进行细化，以实现更灵活的计算？
• RQ2 受控KK-理论群与经典KK-理论群之间通过类米尔诺正合序列的精确关系是什么？
• RQ3 受控KK-理论群的逆极限与罗尔达姆的KL-群有何关系，能否为此提供新的表征？
• RQ4 受控KK-理论框架能否实现对表示选择的独立性，特别是对单位吸收表示？
• RQ5 在受控米尔诺序列中，$\varprojlim^1$-群的作用是什么，它与 $KK(A,B)$ 中零的闭包有何关系？

主要发现

• 受控KK-理论群 $KK_\epsilon(X,B)$ 同构于 $K_0(B)$ 中与有限子集 $X \subset A$ ε-可交换的元素部分。
• 对于单位核代数 $A$，米尔诺正合序列 $0 \to \varprojlim^1 KK_{\epsilon_n}(X_n,SB) \to KK(A,B) \to \varprojlim KK_{\epsilon_n}(X_n,B) \to 0$ 成立，将受控与标准KK-理论联系起来。
• 罗尔达姆的 $KL$-群与逆极限 $\varprojlim KK_{\epsilon_n}(X_n,B)$ 之间存在自然同构，为该不变量提供了新解释。
• 米尔诺序列中的 $\varprojlim^1$-群同构于 $KK(A,B)$ 中零的闭包，记为 $\overline{\{0\}}$。
• 通过引理A.15中的酉交织，证明受控KK-理论构造与单位吸收表示的选择无关。
• 对于单位核代数 $A$，同构 $KL(A,B) \cong \varprojlim KK_{\epsilon_n}(X_n,B)$ 成立，且米尔诺序列在UCT情形下与施科赫特的 $KK$-滤子一致，尽管结果独立于UCT。