[论文解读] Controlled Lagrangians and Stabilization of Euler--Poincar\'e Mechanical Systems with Broken Symmetry II: Potential Shaping

César Contreras, Tomoki Ohsawa|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2021

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对在半直积李群（如SE(3)）上具有对称性破缺的欧拉-庞加莱机械系统之势能成形控制框架，利用表示和被输运参数推导匹配条件。该方法推广了对重摆和水下航行器的既有研究，提出一种统一的、基于表示的控制设计方法，简化了稳定化设计，并重现了已知结果，同时为复杂控制问题提供了更简洁的表述。

ABSTRACT

We apply the method of controlled Lagrangians by potential shaping to Euler--Poincar\'e mechanical systems with broken symmetry. We assume that the configuration space is a general semidirect product Lie group $\mathsf{G} \ltimes V$ with a particular interest in those systems whose configuration space is the special Euclidean group $\mathsf{SE}(3) = \mathsf{SO}(3) \ltimes \mathbb{R}^{3}$. The key idea behind the work is the use of representations of $\mathsf{G} \ltimes V$ and their associated advected parameters. Specifically, we derive matching conditions for the modified potential exploiting the representations and advected parameters. Our motivating examples are a heavy top spinning on a movable base and an underwater vehicle with non-coincident centers of gravity and buoyancy. We consider a few different control problems for these systems, and show that our results give a general framework that reproduces our previous work on the former example and also those of Leonard on the latter. Also, in one of the latter cases, we demonstrate the advantage of our representation-based approach by giving a simpler and more succinct formulation of the problem.

研究动机与目标

• 解决当外部力（如重力或浮力）导致对称性完全破缺时，在SE(3)等半直积李群上机械系统的稳定化问题。
• 将受控拉格朗日方法扩展至具有被输运参数的欧拉-庞加莱系统，特别是通过势能成形。
• 统一并推广针对重摆于可动基座及质心与浮心不重合的水下航行器等系统的现有控制律。
• 证明表示理论与动量映射可为势能成形中的匹配条件推导提供系统性框架。
• 表明通过表示引入额外的被输运参数，可实现更灵活且简化的控制设计，尤其适用于漂移抑制与姿态控制。

提出的方法

• 在半直积李群 G ⋊ V 上建立机械系统，使用带有被输运参数的欧拉-庞加莱方程，其中配置空间为 S = G ⋊ V，且对称性被破坏。
• 利用李群 S 的表示及其关联的动量映射来描述被输运参数，这些参数编码了线性冲量或与姿态相关的物理量。
• 通过修改系统的势能实现势能成形，同时保持在 s × X* 上欧拉-庞加莱方程的结构。
• 通过等同用于定义被输运参数的表示所关联的动量映射，推导原始系统与受控系统之间的匹配条件。
• 考虑两种控制设置：(i) 通过子表示减少被输运参数以简化系统；(ii) 引入新的被输运参数以追踪操作目标。
• 使用扩展对偶空间 (s × X*) 上的李-泊松括号描述哈密顿形式，并验证受控系统的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统性地将势能成形应用于半直积李群上具有对称性破缺的欧拉-庞加莱系统？
• RQ2 群表示及其关联的动量映射在推导势能成形的匹配条件中起什么作用？
• RQ3 所提出的方法能否重现并简化水下航行器与可动基座上重摆的已知控制律？
• RQ4 通过新表示引入额外的被输运参数，如何改善复杂目标（如漂移抑制）的控制设计？
• RQ5 受控拉格朗日量的结构与由此产生的平衡点稳定性之间存在何种关系？

主要发现

• 论文推导出基于半直积群表示的动量映射的显式匹配条件，实现了系统化的控制设计。
• 该方法重现了Leonard（2000）对水下航行器的控制律，包括姿态稳定与漂移抑制，且形式比原始方法更简洁。
• 对于可动基座上的重摆，该方法恢复了先前工作[13]中的势能成形结果，验证了框架的一致性与有效性。
• 通过引入新表示的额外被输运参数，该方法实现了水下航行器漂移抑制问题更简洁、更结构化的表述。
• 推导出 (se(3) × (R³ × (R⁴ × R⁴)))* 上的李-泊松括号，并证明其支持如 ||Γ||²、||∆i||² 和 Γ · ∆i 等卡西米尔不变量，这些对稳定性分析至关重要。
• 该框架表明，基于表示的建模可在一个统一的理论结构中，统一处理姿态控制与漂移抑制等多样化控制目标。