[论文解读] Convergence Analysis of a Linear, Unconditionally Energy-Stable SAV Finite Element Method for the Cahn-Hilliard Equation

Na Li, Yongchao Zhao|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2026

Solidification and crystal growth phenomena被引用 0

一句话总结

该论文开发了一种线性、能量稳定的基于SAV的有限元方案用于Cahn-Hilliard方程，并在时间和空间上证明无条件能量稳定性与最优阶收敛性，同时给出数值验证。

ABSTRACT

This paper proposes a finite element scheme, based on the Scalar Auxiliary Variable (SAV) approach, for the Cahn-Hilliard equation--a model that possesses significant physical relevance and a rich mathematical structure. A convergence analysis of the fully discrete scheme is conducted under suitable regularity assumptions, confirming optimal-order convergence in both time and space for the phase variable, chemical potential, and auxiliary variable in the H1-norm. Furthermore, the scheme is proven to be unconditionally energy stable. Finally, a numerical example is presented to demonstrate the effectiveness of the method and to confirm the theoretical convergence rates.

研究动机与目标

• 为Cahn-Hilliard方程提出并分析一个数值高效的保持离散层能量耗散的方案。
• 引入基于SAV的重构以线性化非线性项，同时保持稳定性。
• 建立全离散方案的无条件能量稳定性与唯一解性。
• 推导先验误差估计，显示时间的一阶最优和空间的二阶最优收敛。
• 通过数值实验验证理论结果并确认收敛速率。

提出的方法

• 使用一个标量辅助变量r(t)对CH方程进行重写，得到一个基于SAV的系统。
• 采用向后欧拉时间离散和空间采用线性有限元，确保每一步为线性系统。
• 通过离散能量定律证明无条件能量稳定性，并证明全离散方案的唯一可解性。
• 引入椭圆投影以推导φ、μ、r在H1范数下的严格误差估计。
• 建立收敛性结果，表明相场和化学势在时间上一阶、在空间上二阶的收敛。

(a) Variation of the mass with time

实验结果

研究问题

• RQ1 SAV基有限离散方案对于Cahn-Hilliard方程是否对所有时间步保持无条件能量稳定？
• RQ2 在SAV有限元框架下，φ、化学势μ和辅助变量r的先验误差估计是什么？
• RQ3 在适当正则性假设下，SAV-FE方案在时间和空间上的收敛阶数是多少？
• RQ4 椭圆投影技术在SAV基方案的收敛性分析中有何作用？

主要发现

• SAV有限元方案在离散能量随时间单调递减下具有无条件能量稳定性。
• 由于离散化的线性结构，在每一步都能实现唯一解。
• 达到最优阶收敛：在时间上一阶，在H1范数下φ和μ的空间一阶最优，且r的收敛性也达到合理水平。
• 使用椭圆投影实现严格的误差估计并将投影误差与离散误差分离。
• 数值实验支持理论收敛速率和所提方法的稳定性。

(b) Variation of the total free energy with time