[论文解读] Convergence Analysis of A Second-order Semi-implicit Projection Method for Landau-Lifshitz Equation

Jingrun Chen, Cheng Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2019

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对 Landau-Lifshitz 方程的二阶半隐式投影方法，采用二阶向后微分公式（BDF2）与单边外推法，并结合投影步骤以保持磁化强度长度。该方法在时间和空间上均实现无条件稳定性和二阶收敛性，且在无需时间步长限制的条件下证明了唯一可解性——这是微磁学模型中的首次此类结果。

ABSTRACT

The numerical approximation for the Landau-Lifshitz equation, the dynamics of magnetization in a ferromagnetic material, is taken into consideration. This highly nonlinear equation, with a non-convex constraint, has several equivalent forms, and involves solving an auxiliary problem in the infinite domain. All these features have posed interesting challenges in developing numerical methods. In this paper, we first present a fully discrete semi-implicit method for solving the Landau-Lifshitz equation based on the second-order backward differentiation formula and the one-sided extrapolation (using previous time-step numerical values). A projection step is further used to preserve the length of the magnetization. Subsequently, we provide a rigorous convergence analysis for the fully discrete numerical solution, with second-order accuracy in both time and space, provided that the spatial step-size is the same order as the temporal step-size. And also, the unique solvability of the numerical solution is theoretically justified, which turns out to be the first such result for the micromagnetics model. All these theoretical properties are verified by numerical examples in both one- and three- dimensional spaces.

研究动机与目标

• 为 Landau-Lifshitz 方程开发一种稳健的数值格式，该方程是一个高度非线性系统，具有非凸约束及无限域辅助问题。
• 克服隐式格式所需的严格时间步长限制（如 $k = \mathcal{O}(h^2)$）的局限性。
• 在确保无条件稳定性和数值解唯一可解性的前提下，实现时间与空间的二阶精度。
• 通过两组近似解与线性化稳定性分析，对误差函数进行严格的收敛性分析。
• 通过一维与三维区域的数值实验验证该方法，包括畴壁动力学模拟。

提出的方法

• 采用二阶向后微分公式（BDF2）进行时间离散化，构建完全显式化的半隐式格式。
• 通过使用前一时间步的值进行单边外推，对方程右侧的非线性系数进行线性化。
• 在每个时间步应用投影步骤，以强制满足单位长度约束 $|\mathbf{m}| = 1$，从而保持磁化强度大小。
• 空间离散化采用有限差分法，时间与空间均使用均匀网格。
• 通过引入两组辅助近似解，对误差进行有界估计，重点分析投影步骤中 $W_h^{1,\infty}$ 估计的误差。
• 通过线性化系统的单调性分析，严格证明了解的唯一可解性，且对时间步长或空间步长无任何限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 Landau-Lifshitz 方程设计一种避免严格时间步长限制的二阶半隐式方法？
• RQ2 是否可能在该问题中建立无条件稳定性及时间与空间的二阶收敛性？
• RQ3 能否在无需步长限制的条件下，证明该数值格式的唯一可解性，特别是针对微磁学模型？
• RQ4 该方法在模拟复杂磁化动力学（如畴壁运动）方面表现如何？
• RQ5 投影步骤中 $W_h^{1,\infty}$ 误差估计在收敛性分析中起什么作用？

主要发现

• 数值实验表明，该方法在时间和空间上均实现二阶收敛，$L^\infty$ 范数下的收敛阶数约为 1.92。
• 无条件稳定性通过数值验证：即使时间步长 $k$ 显著大于空间步长 $h$，误差仍保持有界，如表6所示。
• 该方法在无需对时间或空间步长施加任何限制的条件下，严格证明了数值解的唯一可解性，这是微磁学模型中的首次成果。
• 该方法成功捕捉了磁性纳米条带中横向畴壁的动力学行为，在 50 Oe 外场下以 255 m/s 的速度稳定运动，且磁化分布保持恒定形态。
• 投影步骤有效保持了磁化强度长度，图4的可视化结果表明，在 $k=1/256$ 与 $h=1/32$ 条件下，精确解与数值解高度一致。
• 收敛性分析的关键在于投影步骤中误差的 $W_h^{1,\infty}$ 估计，该估计使稳定性分析中能够获得最优误差界。