[论文解读] Convergence analysis of the Böl-Reese discrete model for rubber

Roberto Alicandro, Marco Cicalese+1 more|ArXiv.org|Aug 10, 2007

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 3

一句话总结

本文通过 $\Gamma$-收敛分析了当网格尺寸 $h \to 0$ 时，Böl-Reese 离散有限元模型在橡胶材料中的收敛性。研究证明，离散能量系统渐近收敛至一个连续的、框架无关的、拟凸的能量密度，且仅在随机旋转不变网络假设下保证各向同性。该模型在连续极限下严格验证了对类橡胶材料的有限元近似。

ABSTRACT

In a recent work, Böl and Reese have introduced a discrete model for polymer networks by means of a finite element modeling. They have also provided a comparison with real experiments. A key parameter of their model is the size h of the finite element mesh, that is meant to be small in practice. The aim of the present work is to study the asymptotic behaviour (and the convergence of the finite element method) when the meshsize goes to zero. In particular, we address the properties satisfied by the model at the limit, depending on the properties of the mesh.

研究动机与目标

• 严格分析当网格尺寸 $h$ 趋近于零时，Böl-Reese 离散有限元模型在橡胶中的渐近行为。
• 确定离散能量系统在何种条件下收敛至一个连续的、具有物理意义的连续体模型。
• 识别极限能量密度是否继承各向同性，特别是与底层网格或网络结构的关系。
• 通过 $\Gamma$-收敛证明极小化元和下确界的收敛性，从而严格验证 Böl-Reese 模型中使用的有限元方法。

提出的方法

• 研究采用 $\Gamma$-收敛分析在不同网格假设下，当 $h \to 0$ 时离散能量泛函 $E_h(v_h)$ 的极限。
• 将离散能量 $E_h(v_h)$ 分解为聚合物链的成对势能以及一个体积不变项 $W_{\text{vol}}$，用于建模范德华力。
• 在周期性情况下，通过单个周期胞的均质化推导极限能量，表明其表现出非各向同性行为。
• 在随机情况下，模型假设网络具有遍历性、平移不变性和旋转不变性，以确保极限下具有各向同性。
• 极限能量密度 $W_{\text{hom}}(\xi)$ 通过涉及局部形变下确界和概率空间平均的渐近均质化公式定义。
• 在随机假设下，建立了 $W^{1,p}(\Omega)$ 中极小化元 $u_h^\omega$ 对 $u_{\text{hom}}$ 的弱收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当网格尺寸 $h$ 趋近于零时，离散的 Böl-Reese 模型是否收敛至一个定义良好的连续体模型？
• RQ2 极限能量密度从离散模型继承了哪些性质，特别是框架无关性和各向同性？
• RQ3 不同的网格结构——周期性与随机性——如何影响极限能量的各向同性？
• RQ4 Böl-Reese 模型中使用的有限元方法能否通过 $\Gamma$-收敛得到严格验证？
• RQ5 在何种随机假设下，极限能量变为各向同性？

主要发现

• 在适当假设下，当 $h \to 0$ 时，离散能量 $E_h(v_h)$ $\Gamma$-收敛至连续能量泛函 $E_{\text{hom}}(v) = \int_\Omega W_{\text{hom}}(\nabla v)\,dx$。
• 极限能量密度 $W_{\text{hom}}$ 具有框架无关性，并满足 $p>1$ 阶的增长条件，确保物理一致性。
• 在周期性情况下，极限能量不具有各向同性，如形变响应中表现出方向性刚度差异。
• 在具有遍历性、平移不变性和旋转不变性的随机网络假设下，极限能量 $W_{\text{hom}}$ 具有各向同性。
• 离散问题的极小化元在 $W^{1,p}(\Omega)$ 中弱收敛至连续问题的极小化元。
• 极限能量密度显式表示为 $W_{\text{hom}}(\xi) = \lim_{h\to 0} \int_\Xi \inf \{ E_h^\omega(v_h^\omega) \} \, dP(\omega) $，其中下确界取自满足 $v(x_i) = \xi \cdot x_i $ 的边界附近的局部形变。