[论文解读] Convergence and error estimates of a viscosity-splitting finite-element scheme for the Primitive Equations

Francisco Guillén‐González, M. V. Redondo-Neble|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于海洋三维原始方程的黏性分裂有限元格式，证明了其无条件稳定性和对弱解的收敛性。在 $k \leq h^2$ 的约束下，速度和压力的最优误差估计达到 $O(k + h^l)$ 阶，其中 $l=1$ 或 $2$，取决于有限元逼近的阶次。该方法结合时间分裂与 inf-sup 稳定的有限元，并通过稳定化校正策略处理科里奥利力。

ABSTRACT

The purpose of this paper is the numerical analysis of a first order fractional-step time-scheme, using decomposition of theviscosity, and "inf-sup" stable finite element space-approximations for the Primitive Equations of the Ocean. The aim of the paper is twofold. Firstly, we prove that the scheme is unconditionally stable and convergent towards weak solutions of the Primitive Equations. Secondly, optimal error estimates for velocity and pressure are provided of order $O(k+h^l)$ for $l=1$ or $l=2$ when either first or second order finite-element approximations are considered ($k$ and $h$ being the time step and the mesh size, respectively). In both cases, these error estimates are obtained under the same constraint $k\le h^2$.

研究动机与目标

• 开发一种用于海洋动力学三维原始方程的稳定且收敛的数值格式。
• 为有限元逼近中的速度和压力建立严格的误差估计。
• 在时间步长约束 $k \leq h^2$ 下确保稳定性与收敛性。
• 对比两种问题的重构形式——积分微分形式 (Q) 与全微分形式 (R)——以评估其数值实现与精度表现。
• 通过校正策略实现并分析科里奥利项，以避免稳定性估计中出现指数时间增长。

提出的方法

• 采用一阶分数步时间格式，通过黏性分裂解耦动量方程与压力方程。
• 使用满足 inf-sup 条件的有限元空间进行空间离散化，并通过 $h$-细化实现速度与压力的逼近。
• 将问题重构为两种形式：(Q) 作为积分微分系统，(R) 作为全微分系统，两者均采用垂直网格结构。
• 科里奥利项 $\mathbf{b}(\mathbf{u}) = f\mathbf{u}^\perp$ 在中间速度步骤显式处理，并在第二子步中通过校正实现以保持稳定性。
• 利用各向异性估计与离散 Gronwall 不等式控制误差传播，防止稳定性界中出现指数增长。
• 在子步 2 中求解静力 Stokes 步，其中 $A_h^{-1}$ 表示离散逆算子，通过插值与逆不等式推导出 $W^{1,6}$-范数估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 黏性分裂有限元格式能否在三维原始方程上实现无条件稳定性和收敛性？
• RQ2 该格式在时间步长 $k$ 与网格尺寸 $h$ 下的最优收敛速率是多少？
• RQ3 在积分微分形式 (Q) 与全微分形式 (R) 之间的选择如何影响精度与实现复杂度？
• RQ4 科里奥利项能否以避免稳定性估计中指数时间增长的方式处理？
• RQ5 $k \leq h^2$ 的约束对格式整体精度与实用性有何影响？

主要发现

• 该格式对原始方程的弱解实现无条件稳定与收敛。
• 速度与压力的最优误差估计达到 $O(k + h^l)$ 阶，其中 $l=1$（线性元）或 $l=2$（二次元）。
• $k \leq h^2$ 的约束在两种重构形式 (Q) 与 (R) 中均为实现最优误差界所必需且充分。
• (R)-格式虽在理论分析上稍弱，但实现更简单，并在 $l=2$ 时于 $H^1 \times L^2$-范数下实现 $O(k + h^2)$ 的精度。
• 通过校正策略处理科里奥利项，避免了稳定性估计中的指数时间增长，同时保持了最优收敛性。
• 推导出离散逆算子 $A_h^{-1}$ 的各向异性 $W^{1,6}$-范数估计，通过插值与逆不等式支持误差分析。