[论文解读] Convergence and Optimality of Adaptive Methods in the Finite Element Exterior Calculus Framework

Michael Holst, Adam Mihalik+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用 3

一句话总结

本论文通过利用源自Hodge分解的拟正交性性质，在有限元外微分形式（FEEC）框架下建立了自适应有限元方法的收敛性与最优性。该研究扩展了先前结果，证明了基于后验误差指标的自适应算法在Hilbert复形上的混合方法中能够收敛并达到最优收敛速率。

ABSTRACT

ABSTRACT. Finite Element Exterior Calculus (FEEC) was developed by Arnold, Falk, Winther and others over the last decade to exploit the observation that mixed variational problems can be posed on a Hilbert Complex, and Galerkin-type mixed methods can then be obtained by solving finite-dimensional subcomplex problems. Stability and consistency of the resulting methods then follow directly from the framework by establishing the existence of operators connecting the Hilbert complex with its subcomplex, giving a essentially a “recipe ” for well-behaved methods. In 2012, Demlow and Hirani developed a posteriori error indicators for driving adaptive methods in the FEEC framework. While adaptive techniques have been used successfully with mixed methods for years, convergence theory for such techniques has not been fully developed. The main difficulty is lack of error orthogonality. In 2009, Chen, Holst, and Xu established convergence and optimality of an adaptive mixed finite element method for the Poisson equation (the Hodge-Laplace problem fork = n = 2) on simply connected polygonal domains in two dimensions. Their argument used a type of quasi-orthogonality result, exploiting the fact that the error was orthogonal to the divergence free subspace, while the part of the error

研究动机与目标

• 填补自适应混合有限元方法收敛理论中的空白，此类方法缺乏误差正交性。
• 将Chen、Holst与Xu（2009）针对Poisson方程的收敛性与最优性结果，从Poisson方程推广至更广泛的FEEC框架。
• 建立基于FEEC中后验误差指标的自适应方法的收敛性与最优收敛速率。
• 证明源自Hodge分解的拟正交性性质，可在缺乏标准误差正交性的情况下，仍确保收敛性。
• 为FEEC框架下复杂几何与一般混合变分问题中的自适应混合方法提供理论基础。

提出的方法

• 利用FEEC框架对Hilbert复形及其有限维子复形上的混合变分问题进行建模。
• 采用Demlow与Hirani（2012）提出的后验误差指标驱动自适应网格加密。
• 通过利用Hodge分解，建立拟正交性结果，其中误差在旋度为零的子空间上正交。
• 应用离散inf-sup条件与FEEC框架的稳定性，以确保离散问题的适定性。
• 利用连接连续复形与离散复形的投影算子的存在性，推导一致性和稳定性。
• 将拟正交性与先验及后验误差估计相结合，证明自适应算法的收敛性与最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏标准误差正交性的情况下，FEEC框架下的自适应混合有限元方法是否仍能实现收敛？
• RQ2 在FEEC框架中，何种条件可确保自适应FEM达到最优收敛速率？
• RQ3 如何利用源自Hodge分解的拟正交性性质，在缺乏完全误差正交性的情况下证明收敛性？
• RQ4 FEEC中的后验误差指标在多大程度上可引导出最优自适应加密策略？
• RQ5 Poisson方程的收敛性与最优性理论能否推广至FEEC框架下更广泛的混合问题类别？

主要发现

• 基于FEEC与后验误差指标的自适应有限元方法在能量范数下全局收敛。
• 实现了最优收敛速率，即误差以给定网格加密策略下可能的最佳速率衰减。
• 源自Hodge分解的拟正交性性质，通过确保误差在连续自适应步长中递减，使收敛成为可能。
• 收敛性与最优性结果适用于在Hilbert复形上建立的一般混合变分问题，而不仅限于Poisson方程。
• 通过连续复形与离散复形之间投影算子的存在性，该框架确保了离散方法的稳定性和一致性。
• 理论结果推广了Chen、Holst与Xu（2009）的前期工作，将他们的收敛性与最优性分析从二维Poisson情形扩展至更广泛的情形。