[论文解读] Convergence and Stationary Distributions for Walsh Diffusions

Tomoyuki Ichiba, Andrey Sarantsev|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文证明了沃尔什扩散过程——即沿原点出发的射线以扩散方式演化并在原点根据旋转测度随机重新定向的马尔可夫过程——存在且唯一存在平稳分布。通过狄利克雷型式与李雅普诺夫函数，本文证明了指数遍历性，并在漂移与扩散系数满足较弱正则性条件下，给出了收敛到不变测度的显式收敛速率。

ABSTRACT

A Walsh diffusion on Euclidean space moves along each ray from the origin, as a solution to a stochastic differential equation with certain drift and diffusion coefficients, as long as it stays away from the origin. As it hits the origin, it instantaneously chooses a new direction according to a given probability law, called the spinning measure. A special example is a real-valued diffusion with skew reflections at the origin. This process continuously (in the weak sense) depends on the spinning measure. We determine a stationary measure for such process, explore long-term convergence to this distribution and establish an explicit rate of exponential convergence.

研究动机与目标

• 确定在 $\mathbb{R}^d$ 中具有广义旋转测度的沃尔什扩散过程的平稳分布。
• 建立此类过程以指数速度收敛到其平稳分布的条件。
• 分析过程在原点附近的局部行为，并确保过程的费勒连续性。
• 将关于偏斜布朗运动的遍历性结果推广到具有非退化扩散系数的一般沃尔什扩散过程。
• 通过狄利克雷型式，严格构造反射型沃尔什扩散过程。

提出的方法

• 利用狄利克雷型式构造并表征沃尔什扩散过程的不变测度。
• 应用李雅普诺夫函数技术证明指数遍历性，并推导出显式的收敛速率。
• 通过时间改变的SDE及逆时间变换映射，将沃尔什扩散过程与反射布朗运动联系起来。
• 通过分析路径收敛性与转移密度的连续性，建立费勒连续性。
• 利用径向过程 $\|X(t)\|$ 与反射布朗运动之间的联系，推导首次 hitting 时间的估计。
• 应用弱收敛论证与路径空间中的紧致性论证，证明过程在旋转测度上的弱连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\mathbb{R}^d$ 上的沃尔什扩散过程存在唯一的平稳分布？
• RQ2 其收敛到平稳分布的速率如何？是否可显式量化？
• RQ3 过程在原点附近的行为如何？何种条件可确保费勒连续性？
• RQ4 旋转测度 $\mu$ 如何影响过程的长期行为与遍历性？
• RQ5 狄利克雷型式方法是否可用于构造并表征一般沃尔什扩散过程的不变测度？

主要发现

• 在漂移与扩散系数满足较弱正则性条件时，沃尔什扩散过程存在唯一的平稳分布。
• 该过程以指数速率收敛到其平稳分布，且该速率可通过李雅普诺夫函数显式界定。
• 径向过程 $\|X(t)\|$ 表现为 $[0,\infty)$ 上的反射扩散过程，其在原点的本地时确定了旋转测度 $\mu$。
• 即使 $\mu$ 为非原子测度，通过狄利克雷型式构造不变测度的方法依然有效，从而扩展了以往仅限于有限支撑的结论。
• 当扩散系数 $\sigma$ 在紧集上远离零与无穷时，指数遍历性成立。
• 该过程在旋转测度 $\mu$ 上是弱连续的，确保了在 $\mu$ 的扰动下具有稳定性。