[论文解读] Convergence in capacity

Urban Cegrell|ArXiv.org|May 11, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文在假设全纯次调和函数序列 $u_j$ 属于类 $\mathcal{F}$ 且在 $\mathbb{C}^n$-容量意义下收敛于 $u$ 的条件下，建立了 Monge-Ampère 测度 $(dd^c u_j)^n$ 沿弱*拓扑收敛于 $(dd^c u)^n$ 的结论。关键结果通过在双全纯域中利用逼近与容量估计，将容量收敛性与相关 Monge-Ampère 测度的弱*收敛性联系起来，推广了早期的收敛定理。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study convergence of Monge-Ampere measures associated to sequences of plurisubharmonic functions defined on a hyperconvex subset of ${\mathbb C^n}$.

研究动机与目标

• 推广全纯次调和函数序列在类 $\mathcal{F}$ 中的 Monge-Ampère 测度收敛性。
• 建立在 $\mathbb{C}^n$-容量意义下收敛蕴含相关 Monge-Ampère 测度弱*收敛的结论。
• 将先前针对一致有界序列的结果推广至更广泛的类 $\mathcal{F}$，该类包含具有受控增长性与有限 Monge-Ampère 质量的函数。
• 通过容量与逼近构造泛函分析框架，以控制非线性测度的收敛性。

提出的方法

• 利用 $\mathbb{C}^n$-容量收敛的概念，定义为：对所有紧集 $K \subset \subset \Omega$ 与 $\delta > 0$，有 $\mathrm{cap}(\{z \in K : |u - u_j| > \delta\}) \to 0$。
• 通过 $\mathcal{E}_0 \cap C(\bar{\Omega})$ 中的函数逼近，将问题约化为边界正规化类中具有紧支集的连续函数。
• 采用截断技术，通过测度 $\mu_p = \min(f, p)(dd^c \psi)^n$ 来逼近在极集上消失的任意正测度。
• 利用积分弱*收敛性 $\int u_j \, d\mu_p \to \int u \, d\mu_p$，并应用 Fatou 引理与单调收敛定理以取极限。
• 对 Monge-Ampère 形式的阶数采用递归论证，通过假设对 $p$-形式成立，证明对 $p+1$-形式的收敛性，并利用容量与下水平集估计误差项。
• 构造基于容量的控制上界 $h_N^*$，以控制在满足 $|u_j - u| > \varepsilon$ 的集合上 $u_j - u$ 的差异，确保误差项的可积性与趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 若序列 $u_j \in \mathcal{F}$ 在 $\mathbb{C}^n$-容量意义下收敛，是否蕴含相关 Monge-Ampère 测度 $(dd^c u_j)^n$ 的弱*收敛？
• RQ2 能否将一致有界序列的收敛结果推广至类 $\mathcal{F}$，该类包含具有有限 Monge-Ampère 质量的无界全纯次调和函数？
• RQ3 如何利用容量估计来控制全纯势论中非线性测度的收敛性？
• RQ4 在证明 Monge-Ampère 测度弱*收敛性时，$\mathcal{E}_0$-函数逼近与测度截断起何作用？

主要发现

• 若 $u_j \in \mathcal{F}$，$u_0 \leq u_j$，且 $u_j$ 沿 $\mathbb{C}^n$-容量收敛于 $u$，则当 $j \to \infty$ 时，$(dd^c u_j)^n$ 弱*收敛于 $(dd^c u)^n$。
• 该收敛性对所有测试函数 $h \in \mathcal{E}_0$ 成立，这足以通过全纯势论中的标准对偶性推出测度的弱*收敛。
• 证明依赖于对 Monge-Ampère 形式阶数的递归论证，即在假设对 $p$-形式成立的前提下，证明对 $p+1$-形式的收敛性。
• 差值 $\int (u_j - u)(dd^c u_j)^p \land \cdots$ 中的误差项通过基于容量的控制上界 $h_N^*$ 与截断技术加以控制，确保其在极限下趋于零。
• 关键估计涉及将 $|I_{j_k}|$、$|II_{j_k}|$ 与 $|III_{j_k}|$ 以 $\int (-h_N)(dd^c u)^p \land \cdots$ 和 $\varepsilon \int (dd^c u_0)^p \land \cdots$ 的形式有界，这两项均随 $N \to \infty$ 与 $\varepsilon \to 0$ 而趋于零。
• 该结果对子序列稳定：每个 $u_j$ 的子序列均包含一个进一步的子序列，使得 $(dd^c u_j)^n$ 沿弱*收敛于 $(dd^c u)^n$，从而证明了整体收敛性。