[论文解读] Convergence in distribution norms in the CLT for non identical distributed random variables

Vlad Bally, Lucia Caramellino+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 35被引用 18

一句话总结

本论文在非同分布、独立的随机变量下，通过Malliavin微积分与分部积分法，建立了中心极限定理（CLT）在分布范数下的收敛性。该研究导出了基于检验函数导数的误差显式界，即使极限分布不具有密度函数，也能控制高阶导数，从而实现对不变性原理、小球概率以及随机三角多项式实根个数等应用的推广。核心贡献在于：通过控制和项的正则性条件，即使在和的分布无密度时，仍能对分布范数下的CLT误差进行精细化估计。

ABSTRACT

We study the convergence in distribution norms in the Central Limit Theorem for non identical distributed random variables that is $$ \\varepsilon_{n}(f):={\\mathbb{E}}\\Big(f\\Big(\\frac 1{\\sqrt n}\\sum_{i=1}^{n}Z_{i}\\Big)\\Big)-{\\mathbb{E}}\\big(f(G)\\big)\ ightarrow 0 $$ where $Z_{i}$ are centred independent random variables and $G$ is a Gaussian random variable. We also consider local developments (Edgeworth expansion). This kind of results is well understood in the case of smooth test functions $f$. If one deals with measurable and bounded test functions (convergence in total variation distance), a well known theorem due to Prohorov shows that some regularity condition for the law of the random variables $Z_{i}$, $i\\in {\\mathbb{N}}$, on hand is needed. Essentially, one needs that the law of $ Z_{i}$ is locally lower bounded by the Lebesgue measure (Doeblin's condition). This topic is also widely discussed in the literature. Our main contribution is to discuss convergence in distribution norms, that is to replace the test function $f$ by some derivative $\\partial_{\\alpha }f$ and to obtain upper bounds for $\\varepsilon_{n}(\\partial_{\\alpha }f)$ in terms of the infinite norm of $f$. Some applications are also discussed: an invariance principle for the occupation time for random walks, small balls estimates and expected value of the number of roots of trigonometric polynomials with random coefficients.

研究动机与目标

• 建立在和项非同分布且极限分布可能无密度时，CLT在分布范数下的收敛性。
• 将经典的CLT与Edgeworth展开结果推广至低正则性检验函数，特别是有界可测函数。
• 提供以检验函数导数为度量的定量误差界，而不仅限于其上确界范数。
• 发展一个适用于占据时间不变性原理、小球概率以及随机三角多项式期望实根个数等应用的框架。
• 通过引入基于分布范数的新型误差控制机制，统一并推广现有在总变差距离与熵距离下的收敛结果。

提出的方法

• 使用抽象Malliavin微积分与分部积分法，控制非光滑检验函数下CLT的误差。
• 应用Lindeberg方法于马氏半群，受参数化技术启发，推导误差估计。
• 采用Nummelin的分裂方法对和项进行分解，以确保Malliavin微积分框架所需的充分正则性。
• 通过将系数表示为埃尔米特多项式线性组合，推导出至N阶的显式Edgeworth型展开。
• 通过将检验函数f替换为其导数∂αf，引入分布范数，并以‖f‖∞为基准，界定了误差εn(∂αf)。
• 通过正则性条件（Doeblin条件）与Malliavin矩阵估计，界定了归一化和的密度导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使和项非同分布且极限分布可能有原子，能否以检验函数导数为度量，对经典CLT误差进行有界控制？
• RQ2 当和项满足Doeblin条件但未必绝对连续时，CLT在分布范数下的收敛速率如何？
• RQ3 如何利用Malliavin微积分与分部积分法，将Edgeworth展开推广至非光滑检验函数？
• RQ4 这些分布范数界对占据时间与随机三角多项式等随机过程有何影响？
• RQ5 在Doeblin型正则性条件下，能否从分布范数估计中恢复总变差距离的收敛性？

主要发现

• 论文证明：对于满足Doeblin条件的非i.i.d.和项，有界检验函数导数的CLT误差被界于C(Y)/√n以内，其中C(Y)依赖于和项的矩与正则性。
• 对于至N阶的Edgeworth展开，误差被界于CN / n^{(N+1)/2} ‖f‖_{b_N,∞}以内，且显式系数以埃尔米特多项式组合形式表示。
• 当和项为i.i.d.且满足Doeblin条件时，总变差距离的收敛性得以保证，从而将Prohorov定理推广至非i.i.d.情形。
• 作者通过控制分布范数下的误差，推导出随机游动占据时间的新不变性原理。
• 利用分布范数框架，对归一化和的小球概率进行估计，所得界依赖于和项的正则性。
• 通过分布范数误差控制，证明了具有i.i.d.系数的随机三角多项式的实根期望个数满足某种不变性原理。