[论文解读] Convergence in distribution of random metric measure spaces: (Lambda-coalescent measure trees)

Andreas Greven, Peter Pfaffelhuber+1 more|ArXiv.org|Sep 28, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文通过矩测度和弱收敛技术，建立了从Lambda-共祖过程导出的随机度量测度空间的分布收敛性。证明了这些随机树中距离的有限维分布弱收敛于一个极限分布，为概率论与随机过程中的连续随机树研究提供了严格的理论基础。

ABSTRACT

We consider the space of complete and separable metric spaces which are equipped with a probability measure. A notion of convergence is given based on the philosophy that a sequence of metric measure spaces converges if and only if all finite subspaces sampled from these spaces converge. This topology is metrized following Gromov's idea of embedding two metric spaces isometrically into a common metric space combined with the Prohorov metric between probability measures on a fixed metric space. We show that for this topology convergence in distribution follows - provided the sequence is tight - from convergence of all randomly sampled finite subspaces. We give a characterization of tightness based on quantities which are reasonably easy to calculate. Subspaces of particular interest are the space of real trees and of ultra-metric spaces equipped with a probability measure. As an example we characterize convergence in distribution for the (ultra-)metric measure spaces given by the random genealogies of the Lambda-coalescents. We show that the Lambda-coalescent defines an infinite (random) metric measure space if and only if the so-called "dust-free"-property holds.

研究动机与目标

• 研究由Lambda-共祖过程生成的随机度量测度空间的分布收敛性。
• 表征这些随机树中距离的有限维分布的极限行为。
• 应用矩测度理论分析底层概率测度的弱收敛性。
• 将现有共祖过程结果扩展到度量测度空间的设定。
• 为连续随机树的研究提供严格的概率框架。

提出的方法

• 通过从随机根到k个抽样点的距离的联合分布定义矩测度。
• 应用Kallenberg（2002）的定理16.16，将矩测度与弱收敛联系起来。
• 使用乘积测度μ⊗k+1表达从同一根出发的成对距离的联合分布。
• 分析随着k增加，k阶矩测度μ̂Xk的收敛性。
• 依赖Lambda-共祖结构定义随机树度量。
• 通过有限维分布的弱收敛建立收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 与Lambda-共祖树相关的随机度量测度空间序列是否在分布上收敛？
• RQ2 这些树中距离的有限维分布的极限分布是什么？
• RQ3 如何利用矩测度表征这些随机度量空间的弱收敛性？
• RQ4 基于根的距离结构在收敛性分析中起什么作用？
• RQ5 能否利用Kallenberg理论中的矩测度技术建立收敛性？

主要发现

• 随着k增加，k阶矩测度μ̂Xk弱收敛，表明随机度量测度空间的分布收敛。
• 通过共同根的距离联合分布的矩测度μ⊗k+1表征了距离的极限分布。
• 通过应用Kallenberg（2002）的定理16.16，建立了收敛性，该定理将矩测度与弱收敛联系起来。
• Lambda-共祖测度树中距离的有限维分布收敛到一个明确定义的极限。
• 该方法为分析源自共祖过程的随机度量测度空间的收敛性提供了一个通用框架。
• 结果证实了在分布意义下存在一个极限连续随机树结构。