[论文解读] Convergence in Wasserstein Distance for Empirical Measures of Dirichlet Diffusion Processes on Manifolds

Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|May 19, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文在具有边界的紧致黎曼流形上，建立了狄利克雷扩散过程中经验测度在 Wasserstein 距离下的收敛速率。结果表明，期望平方 Wasserstein 距离 $\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2$ 的衰减速率为：当 $d \leq 3$ 时为 $t^{-1}$，当 $d=4$ 时为 $t^{-1}\log t$，当 $d \geq 5$ 时为 $t^{-2/(d-2)}$，并给出了涉及生成元 $L = \Delta + \nabla V$ 的狄利克雷特征值的精确界限。该速率在初始分布不完全支撑于边界时一致成立，且当边界为凸时，常数 $c=1$ 成立。

ABSTRACT

Let $M$ be a $d$-dimensional connected compact Riemannian manifold with boundary $\partial M$, let $V\in C^2(M)$ such that $μ({ m d} x):={ m e}^{V(x)}{ m d} x$ is a probability measure, and let $X_t$ be the diffusion process generated by $L:=Δ+ abla V$ with $τ:=\inf\{t\ge 0: X_t\in\partial M\}$. Consider the empirical measure $μ_t:=\frac 1 t \int_0^t δ_{X_s}{ m d} s$ under the condition $t

研究动机与目标

• 分析紧致黎曼流形上具有边界的狄利克雷扩散过程的经验测度 $\mu_t = \frac{1}{t}\int_0^t \delta_{X_s}ds$ 的收敛速率。
• 确定当 $t \to \infty$ 时 $\mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid t < \tau]$ 的渐近行为，其中 $\mu_0 = \phi_0^2 \mu$ 为不变测度。
• 建立与维度相关的衰减速率，并以 $-L$ 的狄利克雷特征值 $\lambda_m$ 表示的精确界限，其中 $L = \Delta + \nabla V$。
• 研究边界几何，特别是凸性，在优化收敛速率常数中的作用。

提出的方法

• 分析利用生成元 $L = \Delta + \nabla V$ 的谱理论及其狄利克雷特征值 $\lambda_m$，其中 $\mu_0 = \phi_0^2 \mu$ 对应于第一个特征函数 $\phi_0$。
• 应用 Kantorovich 对偶公式并利用 $\mathbb{W}_2^2$ 的凸性，以界定经验测度与不变测度之间的 Wasserstein 距离。
• 方法涉及对 hitting 时间 $\tau = \inf\{t \geq 0 : X_t \in \partial M\}$ 的条件化，并通过耦合与矩估计推导界限。
• 利用由 $L_0 = L + 2\nabla \log \phi$ 生成的过程 $X_t^0$，作为给定 $T < \tau$ 时条件分布在 $T \to \infty$ 下的弱极限。
• 关键估计使用半群 $P_t^D$ 及其衰减性质 $P_t^D 1 \leq c_1 e^{-\lambda_0 t}$，并结合 $\mathbb{E}^\nu[\rho(X_{t_i}, X_s)^2 \mid T < \tau] \leq c(s - t_i)$ 的界限。
• 通过 $\mu_N = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \delta_{X_{t_i}}$ 对经验测度进行离散化，可应用已知的 $\mathbb{W}_1$-界限，从而导出与维度相关的衰减速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有边界的紧致流形上，狄利克雷扩散过程的 $\mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid t < \tau]$ 的渐近衰减速率是什么？
• RQ2 流形的维度 $d$ 如何影响经验测度在 $\mathbb{W}_2$ 距离下的收敛速率？
• RQ3 能否以 $-L$ 的狄利克雷特征值 $\lambda_m$ 表示收敛速率的上下界？
• RQ4 边界凸性在将收敛速率常数优化至 1 的过程中起什么作用？
• RQ5 条件经验测度与无条件经验测度在 $\mathbb{W}_2$ 收敛性方面有何不同？

主要发现

• 当 $d \leq 3$ 时，极限 $\lim_{t \to \infty} t \mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid T < \tau]$ 存在且等于 $\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{(\lambda_m - \lambda_0)^2}$，该值为有限。
• 当 $\partial M$ 为凸时，收敛速率常数为最优且 $c = 1$，因此极限恰好为 $\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{(\lambda_m - \lambda_0)^2}$。
• 当 $d = 4$ 时，衰减速率为 $\sup_{T \geq t} \mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid T < \tau] \leq c t^{-1} \log t$，其中某 $c > 0$。
• 当 $d \geq 5$ 时，衰减速率为 $\Theta(t^{-2/(d-2)})$，且存在 $c > 1$ 使得 $c^{-1} t^{-2/(d-2)} \leq \mathbb{E}^\nu[\mathbb{W}_2(\mu_t, \mu_0)^2 \mid T < \tau] \leq c t^{-2/(d-2)}$。
• 由于条件期望位于 Wasserstein 距离内部，该收敛速率慢于条件测度 $\mu_t^\nu = \mathbb{E}^\nu[\mu_t \mid t < \tau]$ 所观察到的 $t^{-2}$ 速率。
• 上界 $\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{(\lambda_m - \lambda_0)^2}$ 为有限当且仅当 $d \leq 3$，这解释了收敛行为中维度阈值的出现。