[论文解读] Convergence of a Finite Volume Scheme for a System of Interacting Species with Cross-Diffusion

José A. Carrillo, Francis Filbet+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 46被引用 25

一句话总结

本文提出了一种针对具有交叉扩散和非局部相互作用的两种相互作用物种系统的保正有限体积格式。通过建立基于保正性的离散能量估计与紧致性，作者证明了数值格式收敛于弱解，数值结果证实了其在空间上的一阶精度以及在奇异或强扩散情形下的鲁棒性。

ABSTRACT

In this work we present the convergence of a positivity preserving semi-discrete finite volume scheme for a coupled system of two non-local partial differential equations with cross-diffusion. The key to proving the convergence result is to establish positivity in order to obtain a discrete energy estimate to obtain compactness. We numerically observe the convergence to reference solutions with a first order accuracy in space. Moreover we recover segregated stationary states in spite of the regularising effect of the self-diffusion. However, if the self-diffusion or the cross-diffusion is strong enough, mixing occurs while both densities remain continuous.

研究动机与目标

• 开发一种数值格式，以保持两个相互作用物种系统中交叉扩散的正性并保持质量守恒。
• 在存在非局部相互作用和非线性扩散的情况下，建立有限体积格式收敛于弱解的证明。
• 分析在强自扩散或交叉扩散条件下，包括具有奇异势能的情形下，该格式的行为。
• 通过数值验证收敛速率并重现稳态解，包括分离与混合构型。
• 展示该格式在模拟复杂模式形成（如亚稳态聚类和能量衰减动力学）方面的鲁棒性。

提出的方法

• 在具有无通量边界条件的一维区域上构建半隐式有限体积格式，以确保局部守恒。
• 通过涉及相互作用势与密度卷积的通量形式，引入非线性自扩散与交叉扩散项。
• 通过强制离散解的正性来推导离散能量估计，这对紧致性论证至关重要。
• 离散能量泛函包含相互作用、内能与扩散项，模仿连续能量结构。
• 通过离散能量估计与弱收敛性论证建立紧致性，以识别极限为弱解。
• 数值模拟采用长程吸引力与短程排斥力势能，包括高斯形与二次形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种有限体积格式，使其在具有非局部相互作用的双物种交叉扩散系统中保持正性并守恒质量？
• RQ2 由格式导出的离散能量估计是否能确保紧致性，从而实现收敛于弱解？
• RQ3 该格式在空间上的收敛速率如何？其在强扩散或奇异势能条件下的表现如何？
• RQ4 该格式能否准确捕捉在竞争性吸引与排斥相互作用下出现的相分离、混合及亚稳态聚类现象？
• RQ5 能量随时间如何衰减？其衰减行为揭示了系统中局部与非局部效应之间的何种相互作用？

主要发现

• 数值实验表明，有限体积格式在空间上实现了首阶收敛，误差范数结果予以验证。
• 该格式保持了解的正性，这对推导离散能量估计及证明紧致性至关重要。
• 在格式层面建立了离散能量估计，从而能够识别弱极限并实现收敛于弱解。
• 数值模拟表明，即使在自扩散起正则化作用时，该格式仍能成功捕捉到分离的稳态结构。
• 在强自扩散或交叉扩散情况下，出现混合现象，且两种密度保持连续，表明从分离到均质化的转变。
• 长期来看，对于吸引-吸引相互作用，观察到能量呈指数衰减，尽管目前尚无该系统的解析证明。