[论文解读] Convergence of clock processes on infinite graphs and aging in Bouchaud's asymmetric trap model on ${\Bbb Z}^d$

Véronique Gayrard, Adéla Švejda|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文利用Durrett和Resnick提出的方法，为无限图上随机环境中钟过程的收敛性建立了通用准则，证明了在$\mathbb{Z}^d$上Bouchaud的非对称陷阱模型对所有$d \geq 2$均表现出正常老化，且两时间相关函数收敛至反正弦分布。分数阶动力学过程也被证明具有老化行为。

ABSTRACT

Using a method developed by Durrett and Resnick [22] we establish general criteria for the convergence of properly rescaled clock processes of random dynamics in random environments on infinite graphs. This complements the results of [26], [19], and [20]: put together these results provide a unified framework for proving convergence of clock processes. As a first application we prove that Bouchaud's asymmetric trap model on ${\Bbb Z}^d$ exhibits a normal aging behavior for all $d\geq 2$. Namely, we show that certain two-time correlation functions, among which the classical probability to find the process at the same site at two time points, converge, as the age of the process diverges, to the distribution function of the arcsine law. As a byproduct we prove that the fractional kinetics process ages.

研究动机与目标

• 为无限图上随机环境中钟过程的收敛性建立通用准则。
• 将现有陷阱模型老化结果扩展至所有维度$d \geq 2$的完整范围。
• 建立钟过程的几乎必然收敛性，优于以往仅基于概率的结果。
• 证明分数阶动力学过程表现出老化行为。
• 通过钟过程收敛性统一老化与异常扩散的理论框架。

提出的方法

• 将Durrett-Resnick方法应用于依赖随机变量，推导无限图上钟过程收敛性的准则。
• 分析通过随机环境中逆等待时间与跳跃速率定义的离散时间与连续时间钟过程。
• 通过与布朗运动的耦合及首次通过时间与返回概率的估计，控制首次通过与返回概率。
• 应用强马氏性质及格林函数的矩界，控制首次 hitting 时间的尾部概率。
• 对$d=2$与$d \geq 3$的$\mathbb{Z}^d$采用尺度依赖的估计，区分对数衰减与幂律衰减。
• 通过次高斯与次威布尔尾部分布估计，建立对访问站点次数的矩界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无限图上马尔可夫跳跃过程的钟过程会收敛至稳定亚稳态过程？
• RQ2 Bouchaud的非对称陷阱模型在$\mathbb{Z}^d$上对所有$d \geq 2$是否表现出正常老化？
• RQ3 两时间相关函数收敛至反正弦分布是否可几乎必然成立，而非仅在概率意义下成立？
• RQ4 从陷阱模型导出的分数阶动力学过程是否表现出老化行为？
• RQ5 首次 hitting 时间与站点访问次数的渐近行为如何依赖于维度$d$？

主要发现

• 对所有$d \geq 2$，Bouchaud非对称陷阱模型在$\mathbb{Z}^d$上的钟过程在适当重标度后，几乎必然收敛至稳定亚稳态过程。
• 在两个时间点返回同一站点的概率的两时间相关函数，当过程年龄趋于无穷时，收敛至反正弦分布。
• 经典老化行为——特征为收敛至反正弦分布——几乎必然成立，而不仅是在概率意义下。
• 从模型导出的分数阶动力学过程被证明具有老化行为，证实了其异常扩散特性。
• 通过格林函数估计与退出时间的指数尾部控制，建立了对站点访问次数的矩界。
• 在$d=2$时，格林函数与 hitting 时间估计中的对数校正项对控制尾部分布行为并确保收敛至关重要。