[论文解读] Convergence of depths and depth-trimmed regions

Rainer Dyckerhoff|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2016

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 26被引用 15

一句话总结

本文確立了經驗數據深度與深度截斷區域幾乎必然收斂至其總體對應物之的一般條件。本文證明，在較弱的正則性條件下，深度函數的點態或一致收斂性可推出對應截斷區域在Hausdorff度量下的收斂性，反之亦然，從而為所有滿足Dyckerhoff公理之深度函數的基於深度的統計方法提供了基礎性的一致性結果，且無需任何分佈限制。

ABSTRACT

Depth is a concept that measures the `centrality' of a point in a given data cloud or in a given probability distribution. Every depth defines a family of so-called trimmed regions. For statistical applications it is desirable that with increasing sample size the empirical depth as well as the empirical trimmed regions converge almost surely to their population counterparts. In this article the connections between different types of convergence are discussed. In particular, conditions are given under which the pointwise (resp. uniform) convergence of the data depth implies the pointwise (resp. compact) convergence of the trimmed regions in the Hausdorff metric as well as conditions under which the reverse implications hold. Further, it is shown that under relative weak conditions the pointwise convergence of the data depth (resp. trimmed regions) is equivalent to the uniform convergence of the data depth (resp. compact convergence of the trimmed regions).

研究动机与目标

• 確立經驗深度與深度截斷區域幾乎必然收斂至其總體對應物之的一般條件。
• 釐清深度函數收斂性與Hausdorff度量下截斷區域收斂性之間的關係。
• 證明在較弱正則性條件下，點態收斂的深度或區域可推出一致或緊緻收斂，反之亦然。
• 推廣先前結果，去除如橢球對稱性或單峰性等限制性假設。
• 為所有滿足Dyckerhoff公理之深度函數的基於深度的統計程序的一致性提供統一框架。

提出的方法

• 本文定義深度為滿足Dyckerhoff公理的函數，確保其在所有標準深度類型中的廣泛適用性。
• 使用Hausdorff度量來形式化截斷區域的收斂性，從而實現對集合收斂性的嚴謹拓撲分析。
• 理論結果基於歐幾里得空間中緊緻集、連續性及嵌套序列的性質推導得出。
• 關鍵證明依賴於$ε$-鄰域的行為，以及Hausdorff收斂性與集合之間相互$ε$-近似的等價性。
• 分析區分了點態、一致與緊緻收斂性，並建立了它們之間的邏輯推導與等價關係。
• 附錄中的補充範例表明，連續性與嚴格單調性假設對收斂性結果成立至關重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 經驗深度函數的點態收斂在何種條件下可推出對應深度截斷區域在Hausdorff度量下的收斂？
• RQ2 深度函數的一致收斂在何種條件下可推出截斷區域的緊緻收斂，反之亦然？
• RQ3 何種條件可確保深度或區域的點態收斂性等價於一致或緊緻收斂性？
• RQ4 深度函數的連續性與嚴格單調性如何影響截斷區域的收斂性？
• RQ5 在無分佈假設下，深度與截斷區域的收斂性結果是否在一般深度定義下彼此等價？

主要发现

• 經驗深度函數對總體深度的點態收斂性，可推出對應深度截斷區域在Hausdorff度量下的點態收斂性。
• 深度函數的一致收斂性可推出深度截斷區域在Hausdorff度量下的緊緻收斂性。
• 在較弱正則性條件下，深度或區域的點態收斂性分別等價於一致或緊緻收斂性。
• 深度與區域收斂性之間的等價性無需假設橢球對稱性、單峰性或有界密度。
• 結果具有普遍性，適用於所有滿足Dyckerhoff公理之深度函數，包括半空間深度、單形深度、投影深度與Zonoid深度。
• 補充範例確認，連續性與嚴格單調性假設對主要收斂定理的成立至關重要。