[论文解读] Convergence of diffusions and their discretizations: from continuous to discrete processes and back

Valentin De Bortoli, Alain Durmus|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2019

Statistical Methods and Inference参考文献 7被引用 14

一句话总结

本文通过在加权总变差度量中使用显式的最小化条件和Foster-Lyapunov漂移条件，为函数自回归模型建立了新的定量收敛边界。该方法被应用于具有单位协方差矩阵的扩散过程的Euler-Maruyama半离散化，基于曲率假设导出了改进的几何收敛速率，并通过步长趋于零的极限过程将结果推广至连续时间扩散过程。

ABSTRACT

In this paper, we establish new quantitative convergence bounds for a class of functional autoregressive models in weighted total variation metrics. To derive our results, we show that under mild assumptions, explicit minorization and Foster-Lyapunov drift conditions hold. The main applications and consequences of the bounds we obtain concern the geometric convergence of Euler-Maruyama discretizations of diffusions with identity covariance matrix. Second, as a corollary, we provide a new approach to establish quantitative convergence of these diffusion processes by applying our conclusions in the discrete-time setting to a well-suited sequence of discretizations whose associated stepsizes decrease towards zero.

研究动机与目标

• 为一类加权总变差度量下的函数自回归模型推导显式的定量收敛边界。
• 在较弱假设下，证明这些模型显式满足最小化条件与Foster-Lyapunov漂移条件。
• 将边界结果应用于具有单位协方差矩阵的扩散过程的Euler-Maruyama半离散化，改进现有收敛速率。
• 展示如何通过令步长趋于零，将离散时间收敛结果推广至连续时间扩散过程。
• 提出一种新方法，通过使用步长递减的离散化序列来量化扩散过程的收敛性。

提出的方法

• 利用迭代马尔可夫耦合核，为函数自回归模型推导出精确的最小化条件。
• 采用李雅普诺夫泛函，在漂移项具有曲率假设的条件下建立Foster-Lyapunov漂移条件。
• 结合最小化条件与漂移条件，推导出在加权总变差范数下的几何收敛性。
• 构造一个步长递减的Euler-Maruyama半离散化序列，以逼近连续扩散过程。
• 利用离散收敛速率的极限，来界定连续扩散过程的收敛性。
• 在$ρ_c$衰减的背景下，利用参数$γ$、$λ$、$A$和$R$，推导出收敛边界中的显式常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为函数自回归模型推导出显式的最小化条件，以实现定量收敛边界的估计？
• RQ2 在曲率假设下，具有单位协方差矩阵的扩散过程的Euler-Maruyama半离散化几何收敛速率是多少？
• RQ3 如何利用离散时间收敛结果来建立连续时间扩散过程的定量收敛性？
• RQ4 收敛速率对参数$ρ_c$、$ρ_{\bar{\gamma},c}$和$ρ_b$的依赖关系如何？
• RQ5 加权总变差度量下的收敛边界与现有结果（特别是[34]）相比如何？

主要发现

• 本文在较弱假设下，为Euler-Maruyama半离散化建立了加权总变差范数下的几何收敛性，改进了[34]中的收敛速率。
• 通过迭代马尔可夫耦合方法推导出显式的最小化条件，从而为函数自回归模型提供了可量化的边界。
• 在条件B4下，收敛速率$ρ_c$满足$\log^{-1}(\rho_c^{-1}) \leq \left[2(1 + \mathtt{m}_3^+(1+R)/4 + \log(1+2A) + (1+4R^2)\mathtt{m}_3^+)\right] / \left[\mathtt{m}_3^+ \mathbf{\Phi}(-1/2)\right]$。
• 在条件B3($\mathtt{m}$)下，若$ρ_b$为负，则边界对$-\mathtt{m}R^2$呈指数依赖，表明$ρ_b$越负，收敛速度越快。
• 当步长$\gamma \to 0$时，离散收敛速率的极限给出了连续扩散过程的有效边界，建立了离散与连续设定之间的桥梁。
• 常数$D_{\bar{\gamma},1,c}$、$D_{\bar{\gamma},2,c}$、$C_{\bar{\gamma},c}$、$\lambda_{\bar{\gamma},c}$和$\rho_{\bar{\gamma},c}$在$\bar{\gamma} \to 0$时收敛于有限极限，确保了连续极限下的稳定性。