[论文解读] Convergence of local supermartingales and Novikov-Kazamaki type conditions for processes with jumps

Martin Larsson, Johannes Ruf|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 43被引用 19

一句话总结

本文利用扩展局部可积性与预测特征，建立了带跳局部上鞅几乎必然收敛的必要与充分条件。它提供了一类新颖的证明，适用于带跳非负局部上鞅的鞅性质的Novikov-Kazamaki型条件，将收敛性与随机指数及Föllmer测度性质相联系。

ABSTRACT

We characterize the event of convergence of a local supermartingale. Conditions are given in terms of its predictable characteristics and quadratic variation. The notion of extended local integrability plays a key role. We then apply these characterizations to provide a novel proof for the sufficiency and necessity of Novikov-Kazamaki type conditions for the martingale property of nonnegative local martingales with jumps.

研究动机与目标

• 利用预测特征与二次变差表征带跳局部上鞅几乎必然收敛的条件。
• 引入并运用扩展局部可积性的概念，以控制跳跃过程中的路径不规则性。
• 为非负带跳局部上鞅的统一可积性提供Novikov-Kazamaki型条件的必要性与充分性的新证明。
• 在测度变换背景下，将收敛行为与随机指数及Föllmer测度框架相联系。
• 通过识别关键结构条件，将连续时间上鞅收敛结果推广至带跳过程。

提出的方法

• 作者将扩展局部可积性作为关键条件，以控制局部上鞅中跳跃行为。
• 通过分析过程的预测特征与二次变差，特别是跳跃测度及其补偿器，研究收敛性。
• 证明技术涉及构造一个新的概率测度（Föllmer测度），在此测度下随机指数可能爆炸，从而实现对收敛路径的分析。
• 从原始概率空间到一个典范空间构造一个可测映射Φ，保持停止时间与可选过程不变。
• 该方法依赖于单调类论证，并利用测度决定族函数来识别有限维分布。
• 通过构造新的滤链H及其相关过程，确保变换后过程为预测过程且适应，从而可应用上鞅理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带跳局部上鞅会几乎必然收敛？
• RQ2 在跳跃过程背景下，扩展局部可积性如何细化经典局部可积性的概念？
• RQ3 局部上鞅收敛性与其实随机指数可积性之间的精确关系为何？
• RQ4 如何证明Novikov-Kazamaki条件对非负带跳局部上鞅的鞅性质而言是必要且充分的？
• RQ5 Föllmer测度框架在何种程度上有助于刻画随机指数的收敛性与爆炸行为？

主要发现

• 局部上鞅几乎必然收敛的事件由其预测特征与二次变差决定，尤其涉及跳跃测度的补偿器。
• 扩展局部可积性被确定为确保局部上鞅极限几乎必然存在的必要与充分条件，即使在存在跳跃的情况下亦成立。
• 本文通过Föllmer测度框架，为非负带跳局部上鞅统一可积性的Novikov-Kazamaki型条件提供了新证明。
• 带跳局部上鞅的随机指数是统一可积上鞅，当且仅当指数局部上鞅满足一个涉及有界停止时间上ess sup的矩条件。
• 通过可测映射Φ构造典范空间，保留了停止时间与可选过程等基本概率结构，从而实现收敛性质的转移。
• 本文证明，在适当的正则性条件下，局部上鞅的收敛性等价于其二次变差的有限性以及其补偿器的扩展局部可积性。