[论文解读] Convergence of Nekrasov instanton sum with adjoint matter

Bruno Le Floch|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2026

Algebraic structures and combinatorial models被引用 0

一句话总结

证明了对于一般参数，4d N=2* U(N) 理论的 Nekrasov 瞬子和的绝对收敛半径为 1，并分析 b^2 = ε1/ε2 的算术性质如何影响收敛性。

ABSTRACT

The Nekrasov instanton partition function of the 4d $\mathcal{N}=2^*$ $U(N)$ gauge theory (a mass deformation of 4d $\mathcal{N}=4$ super-Yang-Mills theory), which is a generating series of equivariant integrals over instanton moduli spaces, is given by a sum over colored partitions weighted by a counting parameter $\mathfrak{q}$. This note proves convergence of the series in the unit disk $|\mathfrak{q}|<1$ for generic parameters. Specifically, the absolute convergence radius of this sum is determined, assuming that mass and Coulomb branch parameters avoid some lattice. If the ratio $b^2=ε_1/ε_2$ of equivariant parameters is in $\mathbb{C}\setminus[0,+\infty)$, the radius is $1$, as expected. If $b^2$ is non-negative, three cases arise: the radius is finite if $b^2$ has finite exponential type (a generalization of Brjuno numbers), namely there exists $C>0$ such that $|b^2-p/q|>\exp(-Cq)$ for all integers $p,q eq 0$; the series diverges if $b^2$ is super-exponentially well approximable by rationals; and if $b^2$ is rational some terms are singular. The AGT correspondence translates these results to convergence of torus one-point conformal blocks of the Virasoro and $W_N$ algebras with non-real $b$, within the unit disk. For the Virasoro algebra this corresponds to a central charge in $\mathbb{C}\setminus[25,+\infty)$.

研究动机与目标

• 建立含伴随质量 m 的 4d N=2* U(N) 瞬子和的绝对收敛半径 R_abs。
• 确定收敛半径如何依赖于比率 b^2 = ε1/ε2 以及参数格的格子结构。
• 在一般性条件下识别 R_abs = 1 的情形，并刻画非一般情形（有理/无理的 b^2）。
• 将 Nekrasov 和的收敛性与通过 AGT 对应关系的 torus 单点共形块联系起来。
• 澄清对非实数 b 的 Virasoro 和 W_N 共形块及相关中心电荷的影响。

提出的方法

• 将瞬子分区函数表示为对 N 个杨图 Y 的和，并给出权重 Z_Y。
• 用通过 liminf_Y |Z_Y|^{-1/|Y|} 定义绝对 Nekrasov 和及其收敛半径 R_abs（附录讨论）。
• 通过构造 Z_Y 不呈指数衰减的 Y 序列，推导出上界使 R_abs ≤ 1。
• 通过对 Z_Y 的分母进行下界估计并跟踪 Z_{IJ} 因子的增长，给出 R_abs 的详细下界。
• 区分非一般情形（b^2 ∈ C igr[0,+∞)），并分析非实、负、正有理 b^2 区间。
• 使用连分数和 Brjuno 型指数型概念将 b^2 的算术性质与收敛性联系起来。
• 将结果转译为 AGT 框架下对 torus 单点 Virasoro 和 W_N 共形块的收敛性陈述。

实验结果

研究问题

• RQ1 N=2^* U(N) 的 adjoint 质量 m 与参数 ε1, ε2 下的 Nekrasov 瞬子和的绝对收敛半径 R_abs 是多少？
• RQ2 R_abs 如何随比率 b^2 = ε1/ε2 的变化而变化，哪些 b^2 的算术性质支配收敛性（无理且具有有限/无限的指数类型、有理等）？
• RQ3 在 masses 和 Coulomb 参数的一般性条件下，是否对非实数 b^2 使 R_abs 等于 1，其他情况有哪些界？
• RQ4 Nekrasov 和的收敛性如何与 AGT 对应以及 Virasoro 与 W_N 代数的 torus 单点共形块的收敛性相关？

主要发现

• 绝对收敛半径为 R_abs = 1 当 b^2 ∈ C igr[0,+∞)。
• 若 b^2 是无理且 >0，R_abs 的下界由指数型的上界 B_sup(b^2) 表达，且相应的上界与有限的指数型相关，当指数型有限时 R_abs > 0；指数型无限时 R_abs = 0。
• 若 b^2 是有理且 >0，某些项 Z_Y 会出现奇点，导致和式不可定义。
• 对于非实的 b^2，在分母存在正下界时 Z_Y 的增长为亚指数级，因此 R_abs ≥ 1，再结合 R_abs ≤ 1 得出 R_abs = 1。
• 当 b^2 < 0 时，分析与非实情况类似，在给定的一般性假设下得到同样的 R_abs = 1。
• 在 AGT 框架中，这些收敛性结果转化为对 Virasoro 和 W_N 代数的 torus 单点共形块在一般质量和 Coulomb 参数下的单位圆收敛性。