[论文解读] Convergence of Newton's method in shape optimisation via approximate normal functions

Kevin Sturm|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 36被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种在形状优化中使用近似法向函数对与Micheletti度量群相关的商空间的切空间进行离散化的超线性收敛牛顿法。通过利用域形状Hessian矩阵和再生核，该方法在驻点附近实现了高效的收敛性，数值验证表明其性能优于梯度方法。

ABSTRACT

In this paper we propose a Newton method for shape functions defined on an image set generated by the (Micheletti) metric group. We review basic properties of the metric group and a quotient associated with the metric group and a fixed domain. Taking into account the special structure of the second shape derivative and its symmetric part allows us to distinguish between two Hessians, the domain shape Hessian and the boundary shape Hessian. Using the domain Hessian we define a Newton method on the metric group by discretising the tangent space of the quotient via approximate normal functions using reproducing kernels. Under suitable assumptions we are able to show superlinear convergences of the Newton iterations and additionally convergence of the shapes in the metric group. Finally we verify our findings in a number of numerical experiments including a thorough numerical study of the impact of the discretisation on the convergence speed.

研究动机与目标

• 开发一种在无限维设置下实现超线性收敛的形状优化牛顿法。
• 通过在度量群上利用微分几何，解决形状优化中的非线性和无限维性挑战。
• 通过再生核引入近似法向函数，以离散化商空间 ${\cal F}/{\cal G}_{\omega}$ 的切空间。
• 在数值实验中比较域Hessian矩阵、边界Hessian矩阵和黎曼Hessian矩阵的性能。
• 分析离散化对收敛速度和稳定性的影响，特别是在驻点附近。

提出的方法

• 该方法使用Micheletti度量群 ${\cal F}$ 来定义形状变化，通过商空间 ${\cal F}/{\cal G}_{\omega}$ 识别允许的形状。
• 通过使用紧支撑的再生核引入近似法向函数，以构建 ${\cal F}/{\cal G}_{\omega}$ 切空间的离散子空间。
• 域形状Hessian矩阵定义在 ${\cal F}$ 的切空间上，而边界形状Hessian矩阵定义在商空间 ${\cal F}/{\cal G}_{\omega}$ 上，在法向扰动下两者近似相等。
• 通过将牛顿方向在近似法向函数空间上进行Galerkin投影，构造牛顿迭代。
• 引入一个映射以关联不同域上的近似法向函数，从而在离散设置下实现收敛性分析。
• 在适当假设下，该方法确保了超线性收敛，且生成的形状在 ${\cal F}$ 的度量下收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无限维度度量群 ${\cal F}$ 上，利用切空间的离散近似，构建形状优化的牛顿法？
• RQ2 通过再生核引入的近似法向函数是否能保留足够的几何结构，以确保超线性收敛？
• RQ3 在使用离散近似时，域Hessian矩阵与边界Hessian矩阵在实际中如何比较？
• RQ4 离散化对形状优化中牛顿法的收敛速度和稳定性有何影响？
• RQ5 当法向场被近似时，牛顿法在何种条件下无法实现二次收敛？

主要发现

• 在适当假设下，所提出的牛顿法实现了超线性收敛，尽管由于法向场的近似，无法达到二次收敛。
• 当限制在法向扰动时，域形状Hessian矩阵与边界形状Hessian矩阵一致，从而可在离散设置中使用域Hessian矩阵作为替代。
• 数值实验表明，牛顿法的收敛速度显著快于梯度方法，尤其是在驻点附近。
• 对于大形状变形，边界形状Hessian矩阵优于域Hessian矩阵，因为后者存在残余切向分量。
• 收敛速率对离散化选择敏感，控制点越密集，收敛速度越快，实验中 $N=10$ 到 $N=100$ 控制点的对比已证实此现象。
• 该方法成功处理了椭圆和方形区域，收敛性通过形状演化快照和残差范数得到验证。