[论文解读] Convergence of random sums and statistics constructed from samples with random sizes to the Linnik and Mittag-Leffler distributions and their generalizations

V. Yu. Korolev, Alexander Zeifman|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文确立了Linnik分布与Mittag-Leffler分布作为具有随机大小样本的广泛统计量的极限分布——超越仅几何求和的情形——通过新颖的混合表示法。证明了Linnik分布是位置尺度混合正态分布，其混合分布为Mittag-Leffler分布，从而为具有有限方差条件下的随机和、极值顺序统计量及最大和建立了新的极限定理。

ABSTRACT

We present some product representations for random variables with the Linnik, Mittag-Leffler and Weibull distributions and establish the relationship between the mixing distributions in these representations. Based on these representations, we prove some limit theorems for a wide class of rather simple statistics constructed from samples with random sized including, e. g., random sums of independent random variables with finite variances, maximum random sums, extreme order statistics, in which the Linnik and Mittag-Leffler distributions play the role of limit laws. Thus we demonstrate that the scheme of geometric summation is far not the only asymptotic setting (even for sums of independent random variables) in which the Mittag-Leffler and Linnik laws appear as limit distributions. The two-sided Mittag-Leffler and one-sided Linnik distribution are introduced and also proved to be limit laws for some statistics constructed from samples with random sizes.

研究动机与目标

• 挑战仅几何求和方案产生Linnik与Mittag-Leffler极限分布的误解。
• 证明即使单个和项具有有限方差，这些分布仍可作为简单统计量（如随机和、极值顺序统计量）的极限出现。
• 建立Linnik、Mittag-Leffler与Weibull分布的新乘积与混合表示，以统一其分析性质。
• 发展一个以Linnik分布为极限的随机和中心极限定理，要求Mittag-Leffler分布控制归一化和项数的极限。
• 通过极值统计与随机抽样方案，将吸引域结果扩展至单边Linnik分布。

提出的方法

• 利用拉普拉斯变换与傅里叶-斯特尔jes变换，推导Linnik、Mittag-Leffler与Weibull分布的乘积表示。
• 证明参数为α的Linnik分布是正态分布的位置尺度混合，其混合测度为参数δ = α/2的Mittag-Leffler分布。
• 利用恒等式 |Lα| = |X|√Mα/2，将单边Linnik分布与半正态及Mittag-Leffler混合联系起来。
• 利用半正态分布位置尺度混合的可识别性，推导最大随机和收敛的条件。
• 利用表示式 |Lα| = Wγ T1/γ1/γ Qα,2，通过Weibull与伽马变量将极值顺序统计量与单边Linnik分布联系起来。
• 应用林德伯格条件与归一化样本大小的收敛性，证明弱收敛至Linnik与Mittag-Leffler分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 Linnik与Mittag-Leffler分布是否可在超越几何求和方案的随机大小样本统计量中作为极限分布出现？
• RQ2 通过混合表示，Linnik、Mittag-Leffler与Weibull分布之间是否存在精确的解析关系？
• RQ3 在何种条件下，归一化最大随机和收敛至单边Linnik分布？
• RQ4 如何使随机大小样本的极值顺序统计量收敛至单边Linnik分布？其所需的吸引域条件是什么？
• RQ5 在随机和中心极限定理中，Linnik分布作为极限分布的充要条件是什么，特别是当和项数服从Mittag-Leffler分布时？

主要发现

• 参数为α的Linnik分布是正态分布的位置尺度混合，其混合分布为参数δ = α/2的Mittag-Leffler分布。
• 单边Linnik分布 |Lα| 的分布为 |X|√Mα/2，其中X为标准正态变量，Mα/2为参数为α/2的Mittag-Leffler分布。
• 若基础分布属于形状参数为γ的Weibull分布的吸引域，且随机样本大小U_n/d_n收敛至伽马与逆伽马变量的特定混合分布，则随机大小样本的最小顺序统计量分布收敛至单边Linnik分布。
• 对于最大随机和，其收敛至单边Linnik分布当且仅当归一化和项数收敛至参数为α/2的Mittag-Leffler分布。
• 极限分布具有鲁棒性：Mittag-Leffler与Linnik分布不仅在几何求和中出现，也在具有有限方差和项与非几何抽样方案中作为极限出现。
• 本文提供了随机和中心极限定理的全新“充要条件”版本，其中Mittag-Leffler分布控制和项数的极限，而Linnik分布为归一化和的极限。