[论文解读] Convergence of random walks to Brownian motion on cubical complexes

Tom M. W. Nye|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文证明了在立方复形上，随机游走的极限收敛于布朗运动，为分层空间上的统计推断提供了一种计算上可行的近似方法。通过将布朗路径投影到标准立方体上，并使用一种基于反射的随机游走算法以尊重立方体边界，作者证明了转移核的收敛性，从而实现了在复杂空间（如进化树空间）上的统计建模。

ABSTRACT

Cubical complexes are metric spaces constructed by gluing together unit cubes in an analogous way to the construction of simplicial complexes. We construct Brownian motion on such spaces, define random walks, and prove that the transition kernels of the random walks converge to that for Brownian motion. The proof involves pulling back onto the complex the distribution of Brownian sample paths on the standard cube, and combining this with a distribution on walks between cubes in the complex. The main application lies in analysing sets of evolutionary trees: several tree spaces are cubical complexes and we briefly describe our results and some applications in this context. Our results extend readily to a class of polyhedral complex in which every cell of maximal dimension is isometric to a given fixed polyhedron.

研究动机与目标

• 开发一种适用于立方复形的可计算随机过程，以实现统计推断，此类复形在进化生物学和数据分析中日益被使用。
• 通过使用马尔可夫过程的转移核，解决在分层空间上概率分布中不可计算的归一化常数问题。
• 在立方复形上建立离散随机游走与连续布朗运动之间收敛性的严格结果。
• 将该框架扩展至一类更广泛的多面体复形，其中每个最大维胞腔与一个固定多面体等距。
• 为在非欧几里得、分层空间（如BHV树空间）上构建统计模型（如均值和方差）提供基础。

提出的方法

• 通过在每个立方体内部扩展欧几里得布朗运动，并允许在共享的余维-1面之间均匀转移，定义立方复形上的布朗运动。
• 构建一种随机游走算法，通过沿方向向量δ移动，并在立方体边界处以相等概率反射到相邻立方体中，以模拟布朗运动。
• 使用投影映射P将布朗路径从复形拉回到单个标准立方体上，实现测度转移并显式构造核。
• 利用拉回测度和对无限边界穿越的细致分析，证明随机游走的转移核收敛于布朗运动的转移核。
• 将结果推广至一类多面体复形，其中每个最大维胞腔与一个固定多面体等距，通过保持对称性以实现分析控制。
• 通过利用复形的结构和概率耦合技术，处理由无限边界穿越引发的技术挑战。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构造出在立方复形上的随机游走，使其转移核收敛于布朗运动的转移核？
• RQ2 如何在具有非平凡分层结构和边界相互作用的立方复形上严格定义布朗运动？
• RQ3 初始点位置（例如内部或余维-2面）对随机游走收敛于布朗运动的影响是什么？
• RQ4 该收敛结果在多大程度上可推广至超出立方复形的更一般多面体复形？
• RQ5 该框架是否能够支持在非欧几里得、分层空间（如BHV树空间）上构建统计模型（如弗雷chet均值和方差）？

主要发现

• 所提出的随机游走的转移核收敛于立方复形上布朗运动的转移核，建立了离散与连续随机过程之间的基本联系。
• 当初始点位于最大维立方体内部时，该收敛性成立，且可扩展至低余维面，但不包括余维-2面，因为在这些位置投影映射变得非典范。
• 该方法依赖于通过投影映射P实现的拉回构造，将测度从复形转移到标准立方体，从而实现显式核计算。
• 随机游走算法在余维-1边界处通过以相等概率反射到相邻立方体，模拟了布朗运动在交汇处的行为。
• 该结果可推广至一类多面体复形，其中每个最大维胞腔与一个固定多面体等距，但向一般单纯复形的推广仍具挑战性，因缺乏对称性。
• 该框架为在分层空间（如进化树空间）上进行统计推断提供了基础，通过使用可计算的转移核作为参数模型。