[论文解读] Convergence of row sequences of simultaneous Fourier-Pad\\'e approximation

J. Cacoq, Lagomasino, G. López|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 6被引用 5

一句话总结

该论文为在闭单位圆盘邻域内亚纯的向量函数的同步傅里叶-帕德逼近的行序列建立了蒙特苏斯·德·巴洛尔型收敛定理。在极点独立性和几乎处处正权函数条件下，逼近函数在以原点为中心、至多包含 |m| 个极点的最大圆盘的紧子集上一致收敛，且分母的零点渐近地定位了目标函数的极点，其重数正确。

ABSTRACT

We consider row sequences of simultaneous rational approximations constructed in terms of Fourier expansions and prove a Montessus de Ballore type theorem.

研究动机与目标

• 建立在闭单位圆盘邻域内解析的向量函数的同步傅里叶-帕德逼近行序列的收敛定理。
• 根据目标函数极点的位置和重数，刻画一致收敛的区域。
• 证明逼近函数的公共分母的零点收敛到目标函数的极点，且重数匹配。
• 将经典的蒙特苏斯·德·巴洛尔定理推广至通过傅里叶展开实现的向量函数的同步逼近。
• 提供在足够大的 n 时逼近函数唯一确定且在豪斯多夫内容下收敛的条件。

提出的方法

• 利用单位圆上的正交多项式，构造同步有理逼近 R_{n,m} = (P_{n,m,1}/Q_{n,m}, ..., P_{n,m,d}/Q_{n,m})，基于傅里叶展开。
• 根据分母 Q_{n,m} 的零点相对于单位圆的位置，对公共分母 Q_{n,m} 施加归一化条件。
• 应用正交多项式 {φ_n} 的渐近性质，以确保傅里叶展开在紧子集上的一致收敛。
• 使用相对于多指标 m 的极点独立性概念，以保证在区域内至少存在 |m| 个极点。
• 利用柯西积分估计和莱布尼茨求导法则，对 Q_{n,m} 及其导数在极点位置的增长进行有界控制。
• 通过 limsup 估计 ||Q_{n,m}^{(j)}(z_k)||^{1/n} 推导收敛速率，并将其与包含至多 |m| 个极点的最大圆盘的外半径 R_|m|(f) 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，同步傅里叶-帕德逼近的行序列在复平面上的紧子集上一致收敛？
• RQ2 公共分母 Q_{n,m} 的零点与目标向量函数 f 在解析区域内的极点有何关系？
• RQ3 相对于多指标 m 的极点独立性在保证逼近函数的唯一性和收敛性方面起什么作用？
• RQ4 能否以 f 的极点位置来量化逼近函数的收敛速率？
• RQ5 逼近误差在多大程度上依赖于包含至多 |m| 个极点的 f 的最大圆盘的外半径 R_|m|(f)？

主要发现

• 在足够大的 n 时，在极点独立性和 σ′ > 0 几乎处处在 𝕋 上的假设下，同步傅里叶-帕德逼近 R_{n,m} 唯一确定。
• 逼近函数在 D_|m|(f) 的紧子集上一致收敛，其中 D_|m|(f) 是以原点为中心、至多包含 f 的 |m| 个极点的最大圆盘。
• Q_{n,m} 的零点收敛到 D_|m|(f) 中 f 的极点，且重数保持不变：每个 τ 重极点恰好吸引 τ 个 Q_{n,m} 的零点。
• 收敛速率满足 limsup_{n→∞} ||f_i - R_{n,m,i}||_{K(ε)}^{1/n} ≤ ||z||_K / R_|m|(f)，其中 K(ε) 是 D_|m|(f) ∩ {z : |z| > 1} 的任意紧子集。
• 当 n→∞ 时，Q_{n,m}(z) 的极限是多项式 Q_|m|(f)(z)，其零点为 D_|m|(f) 中 f 的极点（按重数计数）。
• 在极点位置，分母及其导数的增长受 |z_k| / R_|m|(f) 控制，从而控制收敛行为。