[论文解读] Convergence of SDP hierarchies for polynomial optimization on the hypersphere

Andrew C. Doherty, Stephanie Wehner|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用 37

一句话总结

该论文通过引入对称矩阵的实值德·菲内蒂定理，建立了在超球面上优化齐次多项式时，半定规划（SDP）层次结构的收敛性。利用球谐函数和 $P$-$Q$ 表示法，证明了在层级 $ε$ 处的 SDP 松弛近似于真实最优值，其相对误差 $ε(a,ω,n) \sim a^2n/\ell$，并提供了显式的误差界以及解的构造性近似表示测度。

ABSTRACT

We show how to bound the accuracy of a family of semi-definite programming relaxations for the problem of polynomial optimization on the hypersphere. Our method is inspired by a set of results from quantum information known as quantum de Finetti theorems. In particular, we prove a de Finetti theorem for a special class of real symmetric matrices to establish the existence of approximate representing measures for moment matrix relaxations.

研究动机与目标

• 建立在超球面 $S^{n-1}$ 上优化齐次多项式的半定规划（SDP）层次结构的收敛性。
• 为有限层级 $\ell$ 处的 SDP 松弛近似质量提供显式、可量化的误差界。
• 通过多项式矩阵的 $P$- 和 $Q$- 表示法，开发一种构造性方法以获得近似表示测度。
• 将受量子信息启发的德·菲内蒂定理推广至实对称矩阵，以适用于多项式优化。
• 证明 SDP 层次结构可实现 $(1 - \epsilon)$-近似，其中 $\epsilon \sim a^2n/\ell$，适用于次数为 $2a$ 的多项式。

提出的方法

• 通过球谐函数和傅里叶系数分析矩阵阵列，推导出对称矩阵的实值德·菲内蒂定理。
• 引入多项式矩阵的 $P$- 和 $Q$- 表示法，将 SDP 解与球面上点的凸组合联系起来。
• 利用 Funk-Hecke 公式和对称子空间中的正交分解，比较 $P_M(x)$ 和 $Q_M(x)$，确保 $Q_M(x)$ 的非负性。
• 通过匹配 $P_M(x)$ 和 $Q_M(x)$ 的傅里叶系数，构造显式的近似表示测度，从而实现误差分析。
• 应用酉群和正交群的表示理论，分析对称子空间和次数为 $2a$ 的多项式的矩阵阵列。
• 通过比较 $\ell$-层级松弛与真实最优值，建立误差界，证明 $\epsilon(a,\ell,n) = \frac{4a^2(a + n/2 - 1)}{2\ell + n}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明在超球面上多项式优化的 SDP 层次结构收敛，并提供显式误差界？
• RQ2 德·菲内蒂 型定理如何适应实对称矩阵和多项式优化中的矩阵阵列？
• RQ3 $P$- 和 $Q$- 表示法之间的关系是什么？如何利用它来构造表示测度？
• RQ4 能否以多项式次数 $a$、维度 $n$ 和松弛层级 $\ell$ 表示 $\ell$-层级 SDP 松弛的近似误差？
• RQ5 是否可以将 SDP 解解释为球面上取值的仿射组合？如果是，其精度如何？

主要发现

• SDP 层次结构收敛于超球面 $S^{n-1}$ 上齐次多项式 $T(x)$ 的真实最优值 $\nu$，误差界为 $|\nu_\ell - \nu| \leq \epsilon(a,\ell,n)(\nu - \nu_{\text{min}})$。
• 相对误差量化为 $\epsilon(a,\ell,n) = \frac{4a^2(a + n/2 - 1)}{2\ell + n}$，表明其与 $\ell$ 呈反线性依赖。
• 对于偶次多项式，该界意味着 $(1 - \epsilon)$-近似，其中 $\epsilon \sim a^2n/\ell$（当 $\ell$ 较大时）。
• 为达到期望精度 $\epsilon$，所需松弛层级 $\ell$ 的尺度为 $\ell \sim a^2n/\epsilon$，导致在 $n$ 上呈指数级增长。
• 该方法通过 $P$- 和 $Q$- 表示法，构造了球面上点的凸组合形式的显式近似表示测度。
• 该方法可推广至其他黎曼对称空间，利用球谐分析和类似 Funk-Hecke 公式的卷积定理。