[论文解读] Convergence of the Crank-Nicolson-Galerkin finite element method for a class of nonlocal parabolic systems with moving boundaries

Rui M.P. Almeida, José C. M. Duque+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 21被引用 3

一句话总结

该论文为应用于具有移动边界的非线性、非局部抛物系统的一种线性化Crank-Nicolson-Galerkin有限元方法建立了最优收敛速率。通过使用坐标变换固定区域，并采用任意阶次的多项式基函数，该方法在空间和时间上均实现了最优误差界，数值实验验证了其高精度，并与自适应移动有限元方法结果一致。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish the convergence and error bounds to the fully discrete solution for a class of nonlinear systems of reaction-diffusion nonlocal type with moving boundaries, using a linearized Crank-Nicolson-Galerkin finite element method with polynomial approximations of any degree. A coordinate transformation which fixes the boundaries is used. Some numerical tests to compare our Matlab code with some existing moving finite elements methods are investigated.

研究动机与目标

• 开发一种稳健的数值方法，用于求解在种群动力学和热传导中出现的非线性、非局部抛物系统，其边界随时间移动。
• 为采用任意阶次多项式逼近的全离散线性化Crank-Nicolson-Galerkin有限元方法，建立严格的收敛性和误差界。
• 处理依赖于解的全局积分的非局部扩散项，确保时间与空间上的稳定性和精度。
• 从精度和收敛行为角度，将所提方法与现有移动有限元方法进行比较。
• 通过改变网格尺寸、时间步长和参数容差的数值模拟，验证理论结果。

提出的方法

• 应用坐标变换将非柱形、移动边界的区域映射到固定计算区域，从而实现标准有限元离散化。
• 采用Crank-Nicolson格式进行时间离散化，实现二阶精度和时间上的无条件稳定性。
• 采用分段多项式基函数（任意阶次）的Galerkin有限元方法进行空间离散化。
• 在每个时间步对非线性系统应用线性化策略，通过求解一系列线性系统以提高计算效率。
• 该方法在MATLAB中实现，最终时间T处的误差范数在L2(α(T), β(T))空间中计算。
• 与先前工作中提出的移动有限元方法（MFEM）进行数值比较，采用相同的问题设置和解的度量标准。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性化Crank-Nicolson-Galerkin有限元方法在具有移动边界的非局部抛物系统中的最优收敛速率是多少？
• RQ2 与自适应移动有限元方法相比，该方法在精度和误差控制方面表现如何？
• RQ3 该方法能否对任意多项式阶次在空间（h）和时间（k）上均实现最优误差界？
• RQ4 变化的扩散系数和非局部项如何影响数值解的稳定性和收敛性？
• RQ5 坐标变换对离散系统的条件数和精度有何影响？

主要发现

• 该方法在空间和时间上均实现了最优收敛速率，理论误差界在多项式阶次为2和3时得到数值验证。
• 数值实验表明，空间（h）的收敛阶约为2，时间（k）的收敛阶也约为2，与定理4.1的理论预测一致。
• 在固定网格和时间步长下，随着δ（Newton-Raphson求解器容差）减小，误差显著降低，证实了线性化过程的鲁棒性。
• 与移动有限元方法（MFEM）的直接比较显示，所提方法在精度上达到相当或更优水平，后期时间误差最多降低两个数量级。
• 两个测试案例的数值结果与理论收敛行为以及[20]中的结果高度一致，验证了该方法的可靠性。
• 即使在解梯度较高的区域，该方法仍保持高精度，尽管存在移动边界和非局部非线性，误差仍保持较小。