[论文解读] Convergence of the Cyclic and Quasi-cyclic Block Jacobi Methods

Vjeran Hari, Erna Begović|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文通过显著扩展的一类选主元策略，建立了对称矩阵上循环和准循环块雅可比方法的全局收敛性。证明了强收敛界 $ S(A') \leq cS(A) $，其中 $ c < 1 $，从而使得块雅可比算子可应用于广义特征值问题，包括在广义串行策略下的完整块 $ J $-雅可比方法。

ABSTRACT

The paper studies the global convergence of the block Jacobi me\-thod for symmetric matrices. Given a symmetric matrix $A$ of order $n$, the method generates a sequence of matrices by the rule $A^{(k+1)}=U_k^TA^{(k)}U_k$, $k\geq0$, where $U_k$ are orthogonal elementary block matrices. A class of generalized serial pivot strategies is introduced, significantly enlarging the known class of weak wavefront strategies, and appropriate global convergence proofs are obtained. The results are phrased in the stronger form: $S(A')\leq c S(A)$, where $A'$ is the matrix obtained from $A$ after one full cycle, $c&lt;1$ is a constant and $S(A)$ is the off-norm of $A$. Hence, using the theory of block Jacobi operators, one can apply the obtained results to prove convergence of block Jacobi methods for other eigenvalue problems, such as the generalized eigenvalue problem. As an example, the results are applied to the block $J$-Jacobi method. Finally, all results are extended to the corresponding quasi-cyclic strategies.

研究动机与目标

• 将块雅可比方法的收敛选主元策略类别扩展至弱波前策略之外。
• 以更强形式建立全局收敛性：$ S(A') \leq cS(A) $，其中 $ c < 1 $，$ S(A) $ 为矩阵 $ A $ 的非对角线范数。
• 使块雅可比算子理论可应用于其他特征值问题，如广义特征值问题。
• 将收敛结果扩展至准循环策略，并在广义策略下证明完整块 $ J $-雅可比方法的全局收敛性。
• 证明当 $ n = 4 $ 时，所有循环策略均收敛，解决了长期存在的开放问题。

提出的方法

• 引入使用逆序和置换等价关系的广义串行选主元策略，极大地扩展了已知的收敛策略集合。
• 定义块雅可比消去算子和算子，以分析正交块变换下的收敛行为。
• 建立关键不等式 $ S(A') \leq cS(A) $，其中 $ c < 1 $ 与初始矩阵 $ A $ 无关，确保全局收敛。
• 应用块雅可比算子理论，将收敛结果扩展至相关特征值问题，如广义特征值问题和 $ J $-雅可比特征值问题。
• 通过验证变换矩阵的条件和对角元估计，证明在广义串行策略下，完整块 $ J $-雅可比方法的收敛性。
• 使用类似技术将结果扩展至准循环策略，表明在相同强非对角线范数缩减下收敛性依然成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 块雅可比方法的收敛选主元策略类别能否在弱波前策略之外显著扩大？
• RQ2 强收敛界 $ S(A') \leq cS(A) $ 且 $ c < 1 $ 是否对更广泛的循环和准循环策略成立？
• RQ3 块雅可比算子框架能否用于证明广义特征值问题和 $ J $-雅可比方法的全局收敛性？
• RQ4 当 $ n = 4 $ 时，所有循环策略是否全局收敛，且能否严格证明？
• RQ5 该收敛理论能否扩展至复块雅可比方法，适用于厄米特矩阵对和广义厄米特矩阵对？

主要发现

• 广义串行选主元策略的类别至少包含 $ 2! \cdot 3! \cdots (m-1)! $ 种不同的收敛策略，适用于大小为 $ m $ 的块矩阵划分。
• 以更强形式证明了全局收敛性：$ S(A') \leq cS(A) $，其中 $ c < 1 $ 与初始矩阵 $ A $ 无关，确保线性收敛速率。
• 在任意广义串行选主元策略下，完整块 $ J $-雅可比方法均全局收敛，扩展了以往仅限于弱波前策略的结果。
• 循环策略的收敛结果可直接推广至准循环策略，具有类似界和收敛保证。
• 所有 $ 720 $ 种 $ n = 4 $ 的循环策略均全局收敛，解决了此前的开放问题。
• 该理论使通过块雅可比算子技术证明其他雅可比型方法（如 HZ 方法和块 Paardekooper 方法）的全局收敛性成为可能。